力のモーメント

図のように、半径ｒ、高さｈの円柱形の物体を板の上にのせる。板の水平からの角度θをゆっくり大きくしていくとき、物体が転倒せずに滑り始める条件を求めよ。ただし、板と物体との間の静止摩擦係数をμとする。

この問題がよくわかりません。詳しく教えていただけるとありがたいです。よろしくお願いします。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/05/23 17:09

重心が底面から水平方向にはみ出す時の角度は

(h/2)tanθ=r ⇒ tanθ = 2r/h

ここで止まっているのに必要な静止摩擦は Mgsinθ
垂直抗力は Mgcosθ
最大静止摩擦は μMgcosθ

ここで転倒を始める前に滑り出しているなら、既に最大静止摩擦が足りないはずなので

μMgcosθ < Mgsinθ ⇒ μ < tanθ = 2r/h

No.2 回答者： htms42 回答日時： 2014/05/22 10:14

＃１

＞ 静止摩擦力は垂直抗力と静止摩擦係数の積であり、垂直抗力は
　上記の（２）の反作用なので（大きさが同じ）、
　静止摩擦力は　ｍｇμｃｏｓΘ
　
垂直抗力と静止摩擦係数の積で表されるのは「静止摩擦力」ではなくて「静止最大摩擦力」です。
「静止最大摩擦力＞重力の斜面に平行な成分」であれば釣り合います。
その場合、「静止摩擦力＝重力の斜面に平行な成分」になります。
「静止最大摩擦力＜重力の斜面に平行な成分」であればつり合いは実現しなくなります。滑り出します。

No.1 回答者： gohtraw 回答日時： 2014/05/22 07:33

ひとまず、物体の転倒はおいといて、すべるところから行きましょう。

物体の質量をｍ、重力加速度をｇとして、
物体には重力ｍｇが働き、これを斜面に平行な方向と垂直な方向に
分けると、
平行：ｍｇｓｉｎΘ　・・・（１）
垂直：ｍｇｃｏｓΘ　・・・（２）
静止摩擦力は垂直抗力と静止摩擦係数の積であり、垂直抗力は
上記の（２）の反作用なので（大きさが同じ）、
静止摩擦力は
ｍｇμｃｏｓΘ
これが上記の（１）未満であれば物体は滑り出すので
ｍｇμｃｏｓΘ＜ｍｇｓｉｎΘ
これより
μ＜ｔａｎΘ　・・・（３）

次に、転倒しない条件。この物体が均一な材質でできている、つまり
重心がちょうど真ん中（この表現は理科としては明確さに欠けるので
適宜考えて下さい）にあるという前提で、
物体に加わる重力の作用線（こんな言葉あったっけ？）が物体と斜面
の接している部分（円形の底面）を通っていれば転倒はしない（物体に
反時計まわりのモーメントは生じない）ことになります。言い換えれば、
物体の重心からおろした垂線が物体の円形の底面を通れば転倒しない
ということです。その条件は（図を書いて考えて下さい）
ｔａｎΘ＜＝２ｒ／ｈ　・・・（４）
（３）と（４）より
μ＜ｔａｎΘ＜＝２ｒ／ｈ