100！が12のn乗で割り切れる様な自然数nの最大値を解説付きで教えてください。

100！が12のn乗で割り切れる様な自然数nの最大値を解説付きで教えてください。

No.3 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2018/01/25 19:09

そのとおりですね。

　　
素数をかぞえないとダメですね。
（50+25+12+6+3+1）で97個ですので、
100！＝2⁹⁷・3⁴⁸・ｍ　　　　ｍ∈Z　ｍ/2∉Z　ｍ/3∉Z　ってことになりますね。
なんで、
2⁹⁷・3⁴⁸=(12^n)k 　
ってことですから、2⁹⁷・3⁴⁸から、いくつ12を作れるのかという話ですね。

失礼しました。

No.2 回答者： 20170130 回答日時： 2018/01/25 14:32

基本的にはNo.1様に同意

ただし、12=3*4 ではなく 3*2^2 と考える

つまり、4の個数ではなく2の個数の1/2
(No.1様が数えていない、例えば、2と10でも掛ければ4の倍数になる)

私のカウントでは2の個数は97個、その1/2(切り捨て)で48個
3の個数も48個なので
少ない方(同じになったけど)を取って、48だと思います

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2018/01/25 09:15

100！/12^n=m

100!=m12^n=m(4^n)(3^n)　（ｍ/3∉Z　もしくは　m/4∉Z)　であるときのｎの最大数を求めるというkとになる。

3の数は　
3,6,9,12...99 が最低1個は入っているのが、33個
9,18,36,...,99最低2個が入っているのが、11個
27,54,81 最低個入っているのが3個
81　最低4個入っているの1個なんで
その合計の48個になる
100！＝ｍ・（2＾2ｎ）3^48　　　　（ｍ/3∉Z）

4の数も同じように求めていけば
最低1個　4,8,12,16,...,100で25個
最低2個　16,32,48,64,80,96で6個
最低3個　64　1個　なんで1個

100！＝ｍ・3＾48・4＾32
になるので、
100！＝3＾16・ｍ・12＾32
⇒
100！/12^32=3^16・ｍ　（ｍ∈Z、ｍ/4∉Z）

ということで、32かなぁ