定数分離すべきかどうか。

子供の塾の問題です。

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x－a・sinx=1 (0<a<1)…①
の異なる実数解の個数を求めよ。
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塾の解答
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単に（？）①の左辺-右辺=x-asinx-1=f(x)とおくとf'(x)=1-acosx>0で単調増加。
lim(x→‐∞)f(x)=-∞、lim(x→∞)f(x)=∞よりf(x)はx軸と一点で交わる。よって実数解の個数は1個。
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子供の解答
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「文字定数を含んだ方程式・不等式を処理する場合は、定数分離して解くのが安全」と教わっていた子供は
sinx=0とすると、①の左辺=x,①の右辺=1となりx=1。
これはsinx=0の条件と矛盾するので、sinx≠0
よって、a=(x-1)/sinxと変形し、y=aとｙ＝(x-1)/sinxの交点の数を求める。
　↓
難しいぃ！
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そこで、思ったのですが
(1)定数分離がうまくハマる問題の目安って何でしょうか？
(2)今回のように定数とペアの関数が三角関数だと、難しくなってしまうのでしょうか？

このあたりについてお詳しい方、参照すべき文献とかurlなどについてご案内の方がおられましたら、何卒よろしくお願い申し上げます。

No.2 ベストアンサー 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2018/02/11 09:20

(1) 定数値によって、解が異なる（今回のケースだと実数解の個数）場合は、定数分離を使うほうが解きやすい場合もあります。

(2) aの範囲や、提示されている三角関数がcos, tanだと、難しくなる可能性があります。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

確かに、三角関数が取り組み相手だと振動していて、そもそもからして、定数分離には向かないと判断すべきなのかもしれません。

お礼日時：2018/03/01 12:49

No.1 回答者： mathstudent 回答日時： 2018/02/07 13:49

変数分離でも十分解けます。

ヒントは－1≦sinx≦1です。

なので、1/sinxは1より大きいか、－1より小さいです。

よって、y＝a(0＜a＜1)との交点を考えるので、

1＜x＜2の範囲で考えれば良いのです。

この回答へのお礼

お返事ありがとうございます。

確かに、
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sinx≠0を断った後、
f(x)=(x-1)/sinx　
0<a<1なので0<(x-1)/sinx<1となる範囲のみを考える。
（1）0<sinx<1のとき
sinx>x-1,x-1>0→0<x-1<sinx<1→1<x<2
0<sinx<1を満たし、適す。
（２）-1<sinx<0のとき
sinx＜x-1,x-1<0→-1<sinx<x-1<0→0<x<1
-1<sinx<0を満たさず、不適。

f'(x)=(sinx-cos(x-1))/(sin^2x)
分母>0、分子は1<x<2で単調増加し、かつ、x=1で正（詳細略）
よって、f'(x)は単調増加。
f(1)=0,f(2)=1/sin2>1に留意して0<a<1なるaに対して
y=f(x)とy=aの交点は一個。
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と、定数分離してもとけるようではあります。

しかし、とても煩雑に感じられ、受験数学的には「文字定数を含んだ方程式・不等式を処理する場合は、定数分離して解くのが安全」とは言えない場合がある、と思った次第です。

で、定数分離かけてから撤退するよりも、簡便な判別方法があればいいなとも思うのですが、、

お礼日時：2018/02/08 18:16