微分（数Ⅱ） ＋−＋となるような3次関数f（x）が 区間0≦x≦1の範囲で常に増加する ⇔ 0＜x＜

微分（数Ⅱ）
＋−＋となるような3次関数f（x）が
区間0≦x≦1の範囲で常に増加する

⇔

0＜x＜1の範囲でf'（x）≧0

なぜこうなるのでしょうか？

x＝0,1で傾きは0でもいいので
区間の≦が＜になるのは分かります。
しかし導関数が≧0となるのがわかりません
＝0だと常に増加ではなくなるのではないでしょうか？

都合により問題文なしの私の質問だけになり分かりづらいかもしれませんが、、、
回答お願いいたします

質問者からの補足コメント

• 0≦x≦1の範囲でf'(x)＝0となれば
  傾きが0ってことですから極大値が出てしまいその後下がっていきませんか？
  例えばf'(2分の1)＝0だと0≦x≦1の範囲で上に凸のグラフができてしまい「常に増加」にはならないと思います
  
  ↑どこが間違えているのか教えてください

    補足日時：2018/02/14 17:21

No.4 ベストアンサー 回答者： ji6 回答日時： 2018/02/14 16:57

「区間0≦x≦1の範囲で常に増加する」

⇔「区間0≦x≦1の範囲の任意の x=α , β (α<β) に対して、常に f(α)<f(β)」
⇔「0＜x＜1の範囲でf'(x)≧0」

2つの関数の値f(α),f(β)を比較した結果として,増加しているといえます。
したがって、f'(α)=0であっても問題ありません。

ただし、f'(x)=0となる区間が連続していては増加しているといえません。

この回答へのお礼

最後の
f'(x)＝0となる区間が連続しては増加してるといえない
で納得しました
ありがとうございました

お礼日時：2018/02/14 18:10

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/02/14 14:40

「f'（x）≧0」の等号の有無についてだけ言えば, たとえば

f(x) = (x-1/2)^3
とか考えるとわかる. この場合 x=1/2 で f'(x) = 0 だけど「常に増加」だね.

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2018/02/14 14:36

的外れだったらごめんなさい。

問題の条件が、「区間0≦x≦1の範囲で常に増加する」ですから、f'(x)≧0 で良いのでは。
つまり、f(0) と f(1) では極値にはならないですから。
「区間0<x<1の範囲で常に増加する」ならば、f'(x)>0 ですよね。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/02/14 00:23

「＋−＋となるような3次関数f（x）」ってなに?