∫x^ndx=(1/n+1)x^n+1 ①これって公式ですよね？ ②この式証明して下さい ③この式は

∫x^ndx=(1/n+1)x^n+1
①これって公式ですよね？

②この式証明して下さい

③この式はどうやったらこの式になったんですか？
積分するとき+1乗してそれを分母と指数にしますがどうしてそうするんですか？
計算のやり方だと思うんですが
そのこの操作をする理由を教えてほしいんです
④例えばこの式初めてやり方も知らず見た時
解けないですよね？
やり方を知ってるから解けると思うんですが

これって公式なのでパターンを覚える感じに思います(計算なので)
この公式になった意味があると思うんです。

因みにまだ中学です。
こういうのって高校になったら
自然と疑問にならずに自然に分かるもんなのですか？
こういう疑問が出たのですが
文字式の計算みたいに自然とこの公式の意味がわかるのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• ∫x^ndx=(1/n+1)x^n+1
  
  この公式が成立する理由を教えてください
  この写真のように+などしていって公式が成立するみたいに
  この公式の成立する理由を詳しく教えてください

  
    補足日時：2018/02/21 20:15

No.1 回答者： sc348253 回答日時： 2018/02/20 19:55

中学生だからではなく、貴方は大事なことが抜けています！それは、微分、積分で、

この式は積分ですが、それぞれの定義は、何でしょうか？ 極限の理解も必要ですし、
まず、中学で、平均変化率を習っていると思います。つまり、傾きを求めるのに
x座標で、a→b に変化するときに、y座標は、f(a)→f(b)に変化しますから
｛ f(b)ーf(a)｝/(bーa) となりますね！そして、ここで、極限の考えで、
b→aに限りなく近づけるとbーaは0に近づきます！そして、y座標の方は、
f(b)がf(a)に限りなく近づくことになりますね！この場合に、f(a)が存在すれば、
f(a)を極限値と言い、収束すると言います！
難しいかと思いますが、今、bーa=hと置き換えると、b=a+hとなり
f(b)=f(a+h)より、平均変化率は、
｛ f(a+h)ーf(a)｝/h となり、h→0に限りなく近づけると、記号を使って
lim h→0 ｛ f(a+h)ーf(a)｝/h ｝=f'(a) と導関数と言い、その値を求めることを
微分すると言います。積分は、その微分の逆関数つまり
微分をy=g(x) とすれば、積分は、x=g(y) となり、y=g-1 (x) となり、
g-1 (……) を ∫ という∫で表します。
ですから、
まず、y=x^n を微分して、少し定数を変形して、積分し易い形にして、求める式になりますから、基礎として、
まず、数列から、極限を理解して、微分から、その逆関数である積分を理解することになります。それを、高校2年の約半分くらいの時間をかけて理解します！
数3は、本当に半分は微分・積分で、非常に大事です！
ですから、今は、公式として暗記しておけばいいと思います。
詳細は、自分で調べるなり、高校以上の先生等に聞かれたらいいでしょう！
平均変化率→導関数→微分→積分と理解！(また、数列→極限→微分→→)

No.2 回答者： fedora777 回答日時： 2018/02/20 23:33

①

公式じゃないです。
x+x = 2x
は公式じゃないですよね。

②
ここでは証明は無理です。
微分の定義から示す必要があります。
微分を理解しているのならば、この式は自明ですよね。
（自明＝証明するまでもないあたりまえのこと）

③
微分では
(x^n)の微分＝n*x^(n-1)
です。
積分は逆なので自明です。

④
やりかたを知らずにみれば解けないと思います。（当たり前ですが）
やりかたを知っていれば解けます。

全然難しい内容ではないので、高校に入って勉強すれば確実に
解けるようになります。安心してください。
興味があれば、数日あれば理解できますよ。
微積はエッセンスは難しくないです。

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/02/20 23:50

∫x^ndx=(1/n+1)x^n+1　＋C　Cは積分定数　をお忘れなく

①これって公式ですよね？
公式だったと思いますが、私はこの式を暗記することはしませんでした。（面倒だから）

積分とは微分の逆だから、
微分してx^n　になる関数は(1/n+1)x^n+1＋C　だなと考えて積分後の関数を割り出してしまいます。

②この式証明して下さい
ｎが自然数のとき(x^n)'=nx^(n-1)
この、nの代わりにn+1とすると
{x^(n+1)}'=(n+1)x^n
ゆえに[{x^(n+1)}/(n+1)]'=x^n で∫x^ndx=(1/n+1)x^n+1＋C　が成り立つ。
こんな感じでどうですか。

③この式はどうやったらこの式になったんですか？
積分するとき+1乗してそれを分母と指数にしますがどうしてそうするんですか？
計算のやり方だと思うんですが
そのこの操作をする理由を教えてほしいんです
＞(1/n+1)x^n+1＋Cを微分したときに、係数と～乗の部分が積分する前の形x^n　にもどるようにするための操作です。

④例えばこの式初めてやり方も知らず見た時
解けないですよね？
やり方を知ってるから解けると思うんですが

∫x^ndx=？　と初めて問われれば解けないはず。
∫x^ndx=(1/n+1)x^n+1＋C　まで見せられれば、意味は分からずとも、とりあいずｎに数字を当てはめて計算はできるかも。

こういうのって高校になったら
自然と疑問にならずに自然に分かるもんなのですか？
＞年齢があがっるにつれて理解力は増すはずですので、高校生になれば理解しやすくなるとは思います。
もっとも、高校生は微分を先に習うので、その逆にあたる積分も理解しやすくなると思います。
もっと、厳密に理解したければ、極限などを理解することも必要です。

No.4 回答者： uyama33 回答日時： 2018/02/21 10:58

現在中学生ということなので、

次の作業を自分でやると良い。

１．中学３年までの数学の教科書を終わらせる。
２．高校の数学の教科書を近所の理系の大学生から貰う。
３．高校の数学の教科書を読む。
４．大学の解析学の教科書を読む。
分からなくなったら、
１に戻ってやり直し。


こういうのって高校になったら
自然と疑問にならずに自然に分かるもんなのですか？
こういう疑問が出たのですが
文字式の計算みたいに自然とこの公式の意味がわかるのでしょうか？

自然と分かることはありません。
でも、自分で努力すれば分かります。
ただし、英語の力も必要になるので、
英語の勉強も手を抜かないようにしてください。

No.5 回答者： fedora777 回答日時： 2018/02/22 08:35

理解しやすいように正確さは犠牲にして説明します。

厳密な証明は高校大学でやってください。

微分とは関数のある点での傾きです。
傾きは２点間の変化の割合ですので、
x^nの微分は下記で証明できます。
lim_{a->0}[(x+a)^{n}-x^{n})]/a= n*x^{n} 　①
となります。

なぜなら
(x+a)^n
=x^n + n*a*x^{n-1}+ ・・・+a^n
となり、a->0の極限では、aを含む項は無視できます。
（常識の展開は、n=2のとき、n=3のとき、n=4のとき、・・・と試して確認してください。）

①式＝limi_{a->0}[n*x^{n-1} + a{・・・}]
となり、a->の極限では第2項以降は消えるからです。

「積分は微分の逆」という定義ですから、質問の公式は自明に成り立ちます。
つまり、
Fの微分=f
のとき
fの積分=F
と定義します。
これは「定義」という「決めごと」です。

従って、質問の場合に当てはめると

(1/n+1)x^n+1の微分=x^n
なので、積分の定義より
x^n の積分 = (1/n+1)x^n+1

となり、質問の式が証明されます。


これで理解できないようならば、勉強不足としか言えません。
「幼稚園児に因数分解を解けるようにしてください」
と言われてその場で教えられますか？
それと同じです。

この回答へのお礼

ありがとうございます
この解説を大切に残し高校で理解します！

お礼日時：2018/02/22 08:37

No.6 回答者： sc348253 回答日時： 2018/02/22 10:02

補足は、区分求積法と言われるものですが、何度も言うように、数学は、亀のように

着実に1歩1歩理解していくもの！
数列→極限→微分→積分の順に理解していって欲しい！
そうでなければ、例えば、数列→差分→和分→差分方程式と大学1年レベルくらいまでで、
よく似ているので、混乱してしまう可能性があるので、着実に、微積分は確実に理解していって欲しい！貴方は、できるようなので、特にそのように思う！
数学1を高校1年で習うが 高校数学の基礎となるし、範囲も数学2,3に比べても広いので、
そちらの方を深めてからの方をお勧めします！
例えば、高校ですぐに、式の展開→因数分解を習うが、対称式や交代式の理解は高校生でも難しく私は大学に入ってからでないと理解できなかったしね！参考まで！

この回答へのお礼

ありがとうございます！
順番に勉強します

お礼日時：2018/02/22 10:04

No.7 回答者： イプシロン 回答日時： 2018/02/22 16:23

https://mathtrain.jp/bekibibun
↑が微分の公式です
これが成り立つのでx^(n+1)/(n+1)を微分するとx^nになります

ここで積分は微分されたものを元に戻す作業なのでx^nを積分するとあの公式が出てくるわけです

No.8 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/02/23 15:34

微分積分学の基本定理

①これは公式です。
⓶この式の証明は、微分積分学の基本定理を使えば、簡単にできます。
しかし、微分積分学の基本定理を使わないで証明するのは、少し手間がかかります。
この基本定理を使うために、F(x)=(1/n+1)x^n+1を微分して見て下さい。指数のn+1をかけるとともに、
指数から1を引いて、nとします。すると、∫x^ndxの積分記号の中のf(x)=x^nという結果になる。
すなわちf(x)=x^nを積分すると→(1/(n+1))x^(n+1)+Cになり、
逆に(1/(n+1))x^(n+1)+Cを微分すると→x^nになるので、微分と積分は逆の操作だということになります。微分と積分は逆ということを微分積分学の基本定理といいます。これは１７世紀にニュートンとライプニッツによって発見されました。発見はニュートンが早かったが、本に書いて発表したのが遅く、発表はライプニッツッツが早かったので、第一発見者の認定の争いがあった。この定理の発見があったので、ニュートンとライプニッツは微分積分学の創始者とされています。あなたは、１７世紀最大の発見の一つについて疑問を持って質問したわけです。
③微分積分学の基本定理の証明はどのように行うか？
関数f(x)の微分はlim(Δx→0)[f(x+Δx)−f(x))]で定義されているので、f ' (x)=nｘ^(n−1)は比較的容易にできるが、
sinxやe^xなどの関数もあるので、基本定理の証明にはあまり関係なく、積分の定義の方が主役になる。
積分の定義はリーマンの定義が使われている。それを少し簡単にしたのが、質問者からの補足の写真にある「公式が成立する理由」です。ここでは小さい長方形を作るのに、n等分していますが、リーマンは、こまかく分割しさえすればよいとしたことが主な違いです。この写真は途中で切れているが、丁寧に読めばわかると思います。
微分積分学の基本定理があるお陰で、リーマンの定義の積分の難しい計算をしなくても、微分の逆という楽な計算方法が使えます。補足の計算がわからなければ、また、投稿して下さい。

この回答へのお礼

基本定理を使わない方法を教えて頂いてもよろしいですか？
それともうひとつ
そのような参考サイトみたいなのがあれば教えてください

お礼日時：2018/02/23 15:37

No.9 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/02/23 16:26

>基本定理を使わない方法を教えて頂いてもよろしいですか？

それともうひとつ
そのような参考サイトみたいなのがあれば教えてください
質問者からの補足の写真にある「公式が成立する理由」この写真は途中で切れているが、丁寧に読めばわかると思います。補足の計算がわからなければ、また、投稿して下さい。
上記資料が読めない事情とか、その他、うまくいかない時も、無料ですから投稿して下さい。
＞参考サイトみたいなのがあれば教えてください。
私はウィキペデアをよく使っています。これは専門的すぎるかもしれません。
ほかに、私も中学生の時、No.4の方と同じ勉強のやり方をしていました。(戦後の貧乏な時代に、参考書は自分で買って)。今は、はるかに高齢になった。
回答のお礼の質問に答えていると、一つの質問が延々と続いて終わらずに、私の医者の予約に時間に遅れて寿命が縮む。「公式が成立する理由」の写真の続きを付けて質問すれば
新たな質問には答えるかもしれません。(病気で倒れていれば回答できません。御容赦を下さい。)

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2018/02/23 17:06

No.10 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/02/23 19:54

＞基本定理を使わない方法を教えて頂いてもよろしいですか？

それともうひとつ
そのような参考サイトみたいなのがあれば教えてください

http://examist.jp/mathematics/sum-volume-length1 …
のサイトに「区分求積法と微分積分学の基本定理、面積が定積分で求まる理由」という記事がありました。十分わかりやすく、参考になる。