数学 三角形 正四面体

なぜBHがa/√3になるのですか？

a/2では駄目でしょうか？

No.5 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/04/29 21:34

一辺の長さaの正四面体の一つの頂点Aから底面△BCDに下ろした垂線AHの長さを求めよ。

正四面体は、あまり、なじみがないと思われるので、立方体を利用した方法を図に示す。
図１の太線は、一辺の長さｐの立方体を斜めから見た図である。正方形BECFは底面の正方形で、Fの上に頂点Aがある。頂点Fは、立方体の中で、読者に近い側にあり、頂点Dは遠い側にある。
この立方体の中には、正四面体ABCDが埋め込まれていて、青線で示す。これを取り出したのが図2である。図3に正四面体の底面の△BCDを示す。△BCDは正三角形で、その一辺をaとする。a=BCは正方形BECF の対角線だからa=√2ｐである。△BCDの中心をHとし、BCの中点をGとすると、DH=(2/3)DGの関係がある。
図4は、図1の方向を少し変えて、直線DFの方向から見る。点DとFはかさなって見える。立方体の輪郭は正六角形になる。この図でAEは立方体の対角線だから長さは
AE=√3ｐ= a√(3/2)
である。このとき、直線AEと直線DFは直交しているので、図4は、直線AEを真横から見た図である。長さは正しい比率になっている。図4でAH はAEの2/3である。
AH=AD+DH=AD+(2/3)DG =(1/2)AE+(2/3)DG=(1/2)AE +(2/3)(1/4)AE=(2/3)AE
よってAH=(2/3)AE=(2/3)a√(3/2)=a√(2/3)=a√6/3

No.4 回答者： sc348253 回答日時： 2018/04/29 18:13

https://juken-mikata.net/how-to/mathematics/tetr …

ここに、a/√3と記載あり！

No.3 回答者： konjii 回答日時： 2018/04/29 17:10

正三角形と正四面体の問題は直角三角形で他の角が３０°と６０°の時の辺の長さの比、斜辺から短い方へ２：√３：１です。

これを覚えておく必要があります。
正三角形の頂点から底辺を２等分する点までの長さは２：√３＝２a：√３＊a=a：√３/2＊aから辺の長さaの正三角形の頂点から底辺を２等分する点までの長さは√３/2＊aです。
点Hと底辺で出来た二等辺三角形は頂点が１２０°底角がそれぞれ３０°になっています。これを左右対称に切ると、出来た三角形はまた直角三角形で他の角が３０°と６０°の三角形です。その辺の長さの比は斜辺から短い方へ２：√３：１です。２：√３：１＝２/√３：1：１/√３なのでa/2をかけると２/√３：1：１/√３＝a√３：a/2：a/2√３から重心Hから底辺までの長さはa/2√３です。
よって、各頂点から重心までの距離BHは√３/2＊aーa/2√３＝a（√３/2ー１/2√３）＝a（３/2√３ー１/2√３）＝a/√３です。
三平方の定理から
AH²＝a²ー（a/√３）²＝a²２/3→　AH=a√（２/3)
一辺aの正方形の面積は１/2×a×√３/2＊a＝√３/４＊a²（ｃｍ²）
体積は１/3×√３/４＊a²×a√（２/3)＝√３/１２＊√（２/3)×a³＝１/6√2＊a³（ｃｍ³）

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2018/04/29 13:00

あなたが a/2 だと思う根拠を書いて下さい。

問題の垂線の足 H は、△BCD のどこにありますか。
図を書いてみて下さい。
正四面体ABCD がどんな形か、分らないと云う事は無いよね。

No.1 回答者： Tamageta 回答日時： 2018/04/29 12:55

BHは底面の重心位置です。

正三角形の重心位置ですから計算で求めてください。
なお、AHを求める参考ずも併せて記載してます。