y軸に回転した回転体を求めるときに積分変数を xに変換するために、y= cos xで置換するとき、積

y軸に回転した回転体を求めるときに積分変数を xに変換するために、y= cos xで置換するとき、積分区間の変換の仕方によって求めてる体積が異なってしまうのがよくわかりません。
①の様に変換すると図の斜線部のところを回転した回転体で、②のときはよくわかりませんが①のときと答えが異なってしまいます。

置換積分の章で、置換の際に、積分区間を変換するとき元の変数と置換後の変数が一対一に対応するように区間を制限して、積分区間を変換する。と学習しました。これはつまり、一対一に対応する区間が複数あったら複数の積分区間の変換の仕方があり、どの変換の仕方でも、答えは一致する（具体的な問題でいくつか試してみたら実際に一致した。）ということですよね？

上記のことから①と②の積分区間の変更の仕方で答えが異なってしまうのがわからなくて、②の場合はなにを求めてるのかもイメージできません。

No.2 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/05/29 00:29

質問者さんは図の上のような形の回転体の体積を計算しようとしていて、

①はそのような形になるが、②は直径が4倍の大きさの、図の下のような回転体の体積の式になっていて、数値が合わないと言っているらしい。
　質問文の最初の「y軸に回転した回転体」というのは日本語にない表現なので、たぶん「y軸の周りに回転した回転体」の意味と思われる。質問者は、最初に、問題の目的をキチンと述べるべきである。
「y=cosxのグラフのx=0~π/2の部分をy軸の周りに回転してできる回転体の体積を計算する。」という問題なら、以下のように計算される。
体積Vはｘ=0→π/2の積分(1)になる。
V=∫(0→1)πx^2dy　y=cosｘ　dy=－cosxdx，|dy|=cosxdx　ｘ=0→π/2
V=∫(0→π/2)πx^2 cosxdx__(1)
(1)の不定積分は部分積分を2回行うと、(2)となる。
∫πx^2 cosxdx =πx^2 sinx－∫2πxsinxdx
∫πx^2 cosxdx =πx^2 sinx+2πx cosx－2πsinx__(2)
(2)を微分するとπx^2 cosxになるので、積分ができていることが確認できる。
(2)の不定積分を使って体積は
V=[πx^2 sinx+2πx cosx－2πsinx] (0→π/2)
=[π(π/2)^2－2π]－0=π(π^2－2)

No.1 回答者： tekcycle 回答日時： 2018/05/23 23:09

字も小さいし何をやっているのか今一判りませんが、

回転するところは取り敢えず置いておいて、幅Δｙ、高さｘ(＝ｇ(ｙ) )の短冊をきちんと考えていますか？
この短冊を集めた物が積分ですが。
どういう短冊を計算しているの？
ｙが負の値なら、面積も負になるはずですし。
一つ一つ基礎の基礎から見えるようになって下さい。でないと、微積は上手く行きません。
なお、①は、ｙが０のときｘはπ／２で、ｙが１のときｘが０であるはずです。