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y=f(x) の関数のグラフを、x 方向に p、y 方向に q だけ平行移動する、ということですね?
元のグラフ上の(x1, y1) が、新しいグラフでは (x1 + p, y1 + q) になるということですよね? これを (x2, y2) と書けば
x2 = x1 + p ①
y2 = y1 + q ②
ということです。
ここまではよいですか?
ここで、元の(x1, y1) は y=f(x) のグラフ上にあるので
y1 = f(x1) ③
が成り立ちます。
①②より、
x1 = x2 - p
y1 = y2 - q
ですから、③式にこれを入力すれば
y2 - q = f(x2 - p) ④
が成り立ち、x2, y2 はこれを満たすということです。
この (x2, y2) の任意の対、つまり「新しいグラフ」の上の点は、④式を満たすので
y - q = f(x - p)
の関係となる、ということになります。
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