数Ⅱの領域の問題で、変数変換をしてもよい理由を教えて下さい！

実数x,yが x^2+y^2≦1 …① を満たしながら変わるとき、点(x+y,xy)の動く領域を図示せよ。

という問題についてです。解答によると、
X=x+y, Y=xy とおき①を使ってXとYの関係式を作る。ここまではわかるのですが、この後Xをx、Yをyと置き直し、xy平面上で図示するところが納得できません。

新しく置きなおしたxとyは、元はX(=x+y)とY(=xy)だったので、①でのxとyとは別のものですよね？なぜ、わざわざ見た目が同じxとかyに置きなおすのでしょうか？x=x+y、y=xyと見えてしまって、気持ち悪いし、正しいように思えません。なぜXY平面の図示ではいけないのですか？

No.2 ベストアンサー 回答者： uyama33 回答日時： 2018/07/15 07:12

点(x+y,xy)の動く領域を図示せよ

については、
どの場所に図示するのかの指定は無い。
気持ち悪さを問題にするならば
ｓ=x+y、ｔ=xy　　（実数x,yが x^2+y^2≦1 ）
として、ｓｔ平面に図示すれば解消できる。

でも、ｘｙ平面に図示する理由は他にもある。
この問題を、図形の変換の問題と考えて、
最初の図解はこの変換によってどんな図形に変わるのかを考える。
たとえば、
元の図形上の点
(0,0)は (0,0)
(1,0)は(1,0)
(1/√2、1/√2)は(√2、1/2)
。。。
に移る。

全体としては、最初の円がどんな図形に変換されるかを考えて、
その結果を目で見て比べるには、同一平面に新しい図を書かなくてはなりません。

どうしても気持ち悪ければ、ｓｔ平面に書いたものを座標（数値の組）の集まりと考えて
再度、元の平面に書いてみればよい。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
図形を変換した、と考えるのですね。そうすれば、同じ座標上に乗せないといけなくなりますね。
よく考えたら、なんとなくわかったような気がしました。

お礼日時：2018/07/16 21:46

No.3 回答者： runix2007 回答日時： 2018/07/16 00:41

そうだね

この回答へのお礼

そうですよね。

お礼日時：2018/07/16 21:46

No.1 回答者： afilter 回答日時： 2018/07/14 19:58

特段の理由がなければ、平面座標はxy座標ですよね。

X,Yは解答者が定義したもので、問題文にはありません。
したがって、最終的な答えでは、XY座標ではなく、xy座標を使うべきです。
例えば、x^2+y^2=1、 X=x+y、 Y=xyのとき、XとYの関係を図示せよ。
であれば、XY座標を使う必要があると思います。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。問題文にないXYではなく、一般的なxyを使うべきなのは、理解しました。ただ、そうすると気持ち悪いと思う点があって、それは、①での(x,y)とは定義の異なる(x,y)になることです。結果を図示したxy座標平面に①は描けませんよね？（描く必要はありませんが、気になるので）。

結果の(x,y)は、問題文で与えられた①での(x,y)の定義を勝手に変えていると思うのですが、それは良いのでしょうか。それともこの手の問題は、問題文の座標系とは別の座標系（名前は同じ）で答えることが自然なのでしょうか。（表現が下手ですみません。）

お礼日時：2018/07/14 21:05