[高校数学]確率に関する質問です。

Q：（１)省略
（2）赤色と青色がそれぞれ2個、黄色が1個の1個の合計5個のボールがある。この5個のボールから4個を選び1列に並べる。この並べ方は全部で何通りあるか。

（3)（2）の5個のボールから4個を選び1列に並べるとき、赤色のボールが隣り合う確率を求めよ。

と言う問題で、

A：（2）4個のボールの選び方は、次の[1]～[3]の場合がある。
[1]赤色2個、青色2個を選ぶ。
[2]赤色2個、青色1個、黄色1個を選ぶ。
[3]赤色1個、青色2個、黄色1個を選ぶ。
この各々の場合について、ボールを1列に並べる方法は、

[1]4！/2！2！=６（通り）[2]4！/２!＝12（通り）[3]4！/２!＝12（通り）
よって、並べ方の総数は 6＋12＋12＝30（通り）

[誤答]（3）（2）の結果より、「赤1、赤2、青1、青2、黄」と区別し、並べ方を考える。5つのボールを区別する場合、全ての並べ方の総数は5P４=120通り。赤いボールを一まとめとすると、赤色のボールが隣り合う場合の数は2！×4！通り。

求める確率は、2！×4！/５!＝2/5

（正答。一部略）

5個のボールを赤1、赤2、青1、青2、黄とし、すべて区別して考える。
5個のボールから4個を選び1列に並べる方法は、5P4通り
赤1、赤2を含むように4個のボールを選ぶ方法は 3C2＝3（通り）

（※ここの考え方が、解答を見ても分かりません。（2）の結果より、[1]、[2]、[3]の3つから[1]、[2]を選ぶ、と言う意味だとは思いますが、なぜこう言う考え方をするのかが分からないのです。）

このとき、赤1、赤2が隣り合うように並べる方法は、まず、赤1、赤2を1個とみなして3個のボールを1列に並べる方法が 3！通り そのおのおのについて、赤1、赤2の並べ方が2通りあるから、3！×2＝12（通り）

よって、赤1、赤2が隣り合う並べ方は全部で、3×12＝36（通り）
したがって、求める確率は 36/5P4＝36/5.4.3.2＝3/10

以上の解答で、とりわけ3C2通りの所の考え方、勘所が分かりません。初歩の初歩で躓いているのであろうと思いますが、何卒ご教示お願いいたします。

No.2 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/07/21 11:20

まず、あなたの考え方に沿うならば、

赤２こを1セットとして、(※)赤セット、青1、青２、黄の4つから３つ選んで並べる順列と考えなければならないので４P3通り。・・・この時点ではまだ赤の並び順は考慮せずに、赤が完全にくっついて一体化しているとみなす。
このうち赤セットが含まれなものは、青1、青２、黄の３つから３つ選んで並べる順列の3!
よって、赤セット、青1、青２など赤セットが含まれるものは4P3通-3!=(4-1)3!=3x3!
ここで赤セットを含む3x3!通りで、赤セットの順番（赤１―赤２or赤２―赤１)も考慮すると
その数は3x3!x2!通り
したがって求める確率は(3x3!)x2!/5P4=3x2/5x4=3/10
(あなたの間違いは残念ながら複数有るようですが、メインとしては赤を1セットとしたのに４！としているところです。赤セットー青1－黄色などの順列だから並べる場所が4か所ではなくて3か所となります・・・。その上で、更なる考え方の修正も必要です。例えば並べる場所が3か所だから、赤いボールを一まとめとすると、
赤色のボールが隣り合う場合の数は2！×※3！通り。と修正するだけでは不十分。
2！×3！は、仮に赤セットと青1、黄色の並べ方の総数を示していますので、青２のことは全く考慮されていません。そこまで考慮して修正する必要があります。上に示したように考えるのが1例））

次に模範解答
赤1、赤2を含むように4個のボールを選ぶのだから
4こ中、２こは赤色で決まりなので、残りの枠は２こ
この残り2枠を埋めるボールを、青1青2黄色の3個から選ぶので3C2という事
別の考え方としては赤以外のボール1個を除外すれば、赤1、赤2を含むように4個のボールを選ぶことができると考えて、
青1青2黄色の3個から除外する１個を選ぶ方法が3C1通りと考えても良い。
いずれの考え方を採用しても
赤1、赤2を含むように4個のボールを選ぶ方法は 3C2＝3C1=3（通り）となり以下は模範解答の通りです。（もし、疑問があれば返信してください。）

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/07/21 12:27

ⅰ(ア）・・・ＯＫ

（イ）・・・たぶん良いと思いますが、念のために一言
「赤1-赤2」とひとくくりにして、3つのボールの並び方を考える。ならば3!通り。
更に本来赤は一体ではないので、
赤1-赤2が3!通り
赤２-赤１も3!通り
→赤2つが隣り合う例「赤1-赤2-青1-青2」の並びは3!x2

（ァ）、（ィ）より、3C2×3！×2通りであり、求める確率は3C2×3！×2/5P4。・・・ＯＫ

ⅱ考え方は間違ってはいませんが、説明の順序が異なるだけでⅰと同じ考え方のようです。
（2つの全く別の考え方という事ではないようです。細かいことを言って申し訳ありません。）

この回答へのお礼

おっしゃる通りでした。ありがとうございます！

お礼日時：2018/07/22 22:50

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/07/21 11:29

no2補足　

まずno2の
あなたの考えに沿うならばを読んでいただいたうえで、
赤セットと青1、黄色の並べ方の総数は2！×3！となるのは理解してもらえると思います。
同様に考えて
赤セットと青２、黄色の並べ方の総数も2！×3！
赤セットと青1、青2の並べ方の総数も2！×3！
従って赤1、赤2を含むように4個のボールを選ぶ方法は
2！×3！x3通りと考える方が分かりやすそうですね！^^
(したがって、求める確率2！×3！x3/5P4=3/10)

この回答へのお礼

＞masterkoto さん

詳細なご回答ありがとうございます！

当方にミスがありました。「2！×4！通り」ではなく、「2！×3！通り」ですね。それとmasterkoto 様のご回答を踏まえたうえで2つ考え方を出しました。誤っている点があればご指摘いただければ幸いです。

（ⅰ）「赤1-赤2-青1-青2-黄」と5つのボールを区別する。
組み合わせの考え方を用いれば、ボールの選び方と並べ方を分けて、次のように考える。

（ア）「青1-青2-黄」の3つから2つを選ぶ（例：「赤1-赤2-青1-青2」の「青1-青2」の部分。あるいは、「赤1-赤2-青2-黄」の「青2-黄」の部分。）これは3C2通りの選び方がある。

（ィ）並べ方：「赤1-赤2」とひとくくりにして、3つのボールの並び方を考える。そのとき、
3！×2通り

（ァ）、（ィ）より、3C2×3！×2通りであり、求める確率は3C2×3！×2/5P4。

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

（ⅱ）「赤1-赤2」の組をひとまとめにし、「赤a」とする。
「赤1-赤2-青1-青2-黄」があるから、ここから4個を選ぶとき、
（ゥ）「赤1-赤2-青1-青2」→「赤a-青1-青2」
（ェ）「赤1-赤2-青1-黄」→「赤a-青1-黄」
（ォ）「赤1-赤2-青2-黄」→「赤a-青2-黄」
（※他に「赤-青1-青2-黄」の選び方があるが、赤が隣り合うことはないため除外）

（ゥ）、（ェ）、（ォ）の3つのケースについて、おのおの3！×2通りの並べ方があるので、
全部で3×3！×2通りの並べ方がある。

よって、求める確率は、3×3！×2/5P4。

お礼日時：2018/07/21 12:01

No.1 回答者： tmiyoshi 回答日時： 2018/07/21 05:31

まず、（2）の結果を使って解いてみると、（赤２、青２を区別しない）

赤色のボールが隣り合う場合の数は、
[1]の中で３通り、[2]の中で６通りの計９通り、よって、9/30=3/10になります。
これが一番素直で簡単な考え方だと思います。
次に、
(3)のように、赤２、青２を区別して考えた場合ですが、上に書かれている、
「赤1、赤2を1個とみなして3個のボールを1列に並べる方法が 3！通り」とありますが、
これは赤玉以外の２個のボールの選び方には、区別してある青２個と黄色１個の３個の中から２個選ぶ場合がありますから、
3C2=3を掛けてあげる必要があります。それが上に書かれている、「赤1、赤2を含むように4個のボールを選ぶ方法は 3C2＝3（通り）」
の意味です。
また、次のようにも考えることができます。
選んだ４個のボールの中で赤色のボールが隣り合う場合は、
赤赤ｘｘ
ｘ赤赤ｘ
ｘｘ赤赤
の並びが考えられますが、（ここで、ｘは赤以外の２個です。）
ｘｘの所にはそれぞれ、青２黄１の３個から２個選んで並べる数、3P2=6通りになります。
それに、赤赤を入れ替えた２通りと上の３つ場合を掛けて計6x2x3=36通りになります。
従って36/120=3/10となります。

この回答へのお礼

ありがとうございました。よく理解できました。

お礼日時：2018/07/22 22:51