高校数学A の問題で 方程式３ｘ－７ｙ=1 の整数解をすべて求めよ という問題の解き方がわかりません

高校数学A の問題で

方程式３ｘ－７ｙ=1 の整数解をすべて求めよ

という問題の解き方がわかりません
教えていただきたいです。

No.4 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2018/10/31 21:58

不定方程式という。

3と7が互いに素である事がミソ。
やり方を書くから、会得する様に。

○特殊解を1個見つける
x=5,y=2も解の1個
3･5-7･2=15-14=1なので、確かに解の1個

○一般解を計算する。
3x-7y=1 ①
3･5-7･2=1 ②

①式-②式を計算する(辺々を引き算する）
3(x-5) - 7(y-2)=0
移項すると
3(x-5)=7(y-2)

3と7が素（共通因数が無い）から、＝になる為には
3･7=7･3とするしか無い
∴x-5=7、y-2=3

が、しか～し、3･7=7･3の両辺にnを掛けても=が成立するから
x-5=7n
y-2=3n

∴
x=7n+5
y=3n+2
(nは整数）

No.3 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/10/30 05:21

方程式３ｘ－７ｙ=1＿(1) の整数解をすべて求めよ

ユークリッドの互除法という方法が知られていて、ずっと複雑な問題も簡単に解ける。
A，B，C，Xの後のi，i+1，i+2は添え字です。
図の黒枠の所だけ計算すれば答えが出る。黒枠以外は解説です。
手順：①②･･･⑥の順に計算する。方程式A2x－A1y=1の係数3と7のうち
①絶対値の大きい方をA1とし、②絶対値の小さい方をA2とする。
A1を前にした式にすると７ｙ－３ｘ=－1＿(2)となる。
(１)割り算Ai÷(Ai+1)の答えBiとし、余りをAi+2の欄に書き込む。
(２)割り切れて余りが0になったら割り算は終了する。
余りAi+2=0のとき、Ai+1=Cは最大公約数が得られる。
C≠1の時は初めにA1、A2をCで割っておく。
(３)解の計算
はじめに④(Xi+1)=0、⑤Xi=±1とする。Xiの符号は式(2)の右辺に合わせる。
次に解Xiの計算⑥Xi=Bi(Xi+1)+(Xi+2)の式を繰り返し計算し
表の上に進み、i=1になるまで計算する。
(４)表の右端の欄は、得られた解Xiによって、成り立つ方程式を示す。
始めの方程式⑦が簡単化されて⑧の式となり、解Xiが求めやすくなることを示す。
最も求めやすくなると、(Xi+1)=0、Xi=－1となる。
(５)y=X2=－1，x=－X1=－2が得らると3x－7y=1__(1)
の解の一つが得られる。(1)の右辺の1を0に替えた式を作り(2)とする。
3x－7y=0＿(2)。方程式(2)の解をx=7m，y=3mとする。mは任意の整数。
(1)と(2)の解の和を作ると、x=7m－2、y=3m－1がすべての解である。

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2018/10/23 15:45

具体的な整数の値は求められません。

「不定方程式」と云って、答えは 一般的な式で表します。

3x-7y=1 ・・・①
先ず、これを満たす x, y を一つ見つけます。
係数が一桁ですから、九九を思い出せばすぐに分かりますね。
x=5, y=2 で 良いことが分かりますね。
で、3*5-7*2=1 ・・・② とします。
①－② としますが、掛け算は そのままの形で進めます。
3(x-5)-7(y-2)=1-1 →　3(x-5)=7(y-2) ・・・③
3 と 7 は お互いに素ですから、(x-5) は 7 の倍数である筈です。
つまり x-5=7k (k:整数) となり、x=7k+5 となります。
これを ③ に代入して y=3k+2 となります。
答え：x=7k+5, y=3k+2 （k は整数）

x=5, y=2 から始めたので、このような答えになりましたが、
NO1 さんの答えと 結果的には同じです。
m=1 と k=0 とは 同じ値になりますね。

No.1 回答者： syotao 回答日時： 2018/10/22 23:11

7＝3･2＋1より７ｙ＝3･2ｙ＋ｙこれを方程式に入れて

３ｘ－3･2ｙ－ｙ＝1これからｙ＝3(ｘ－2ｙ)－1
ｘ－2ｙは整数だからｍとおいてｙ＝3ｍ－1
これをふたたび方程式に入れて
３ｘ－７(3ｍ－1)=1、ｘ＝7ｍ－2
答え　ｘ＝7ｍ－2、
　　　ｙ＝3ｍ－1　ｍは任意の整数　です。