No.3ベストアンサー
- 回答日時:
加法定理を1から導き出す方法
原点Oを中心とする単位円上にx軸からの角度αと角度βの動径(半径)をかく。(α>β)
2つの動径と、円の交点をA,Bとすると三角関数の定義からそれぞれの座標は
A(cosα、sinα),B(cosβ、sinβ)である。
2つの動径を2辺とする三角形OBAにおいて角Oに関する余弦定理
⇒AB²=OA²+OB²-2OAOBcos∠O
⇔(cosβ-cosα)²+(sinβ-sinα)²=1²+1²-2・1・cos(α-β) ・・・(∵角O=αーβ)
⇔1-2cosαcosβ+1-2sinαsinβ=1²+1²-2・1・cos(α-β)
⇔cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β)・・・① ←←←加法定理の1つが現れた
①でβ=-Bとすれば
cos(α+B)=cosαcos(-B)+sinαsin(-B)=cosαcosB-sinαsinB
(∵cos(-B)=cosB,sin(-B)=-sinB)
Bをβに置き換えて
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ ・・・② ←←←加法定理
①においてα=Π/2-Aとすると
cos{(Π/2-A)-β}=cos(Π/2-A)cosβ+sin(Π/2-A)sinβ
⇔sin(A+β)=sinAcosβ+cosAsinβ ←←←加法定理
(∵sin(Π/2-θ)=cosθ、cos(Π/2-θ)=sinθを用いれば右辺の変形は容易、
左辺もθ=A+βとすればcos{(Π/2-A)-β}=cos{Π/2-(A+β)}=cos(Π/2-θ)=sinθ=sin(A+β)
Aをαにおきかえれば
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ・・・③
②③を用いて
tan(α+β)=sin(α+β)/cos(α+β)
=(sinαcosβ+cosαsinβ)/(cosαcosβ-sinαsinβ)
={(sinαcosβ+cosαsinβ)÷cosαcosβ}/{(cosαcosβ-sinαsinβ)÷cosαcosβ}
=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)・・・④
④においてβを-βで置き換えると
tan(α-β)
={tanα+tan(-β)}/{1-tanαtan(-β)}
=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)
(∵tan(-β)=-tanβ)
このようにやるのが普通ですね
途中でβ=-B、α=Π/2-Aと1クッション置きましたが、意味さえ分かっていれば直接的に
βを-β、αをΠ/2-αに置き換えるとしても良いです¥^^
No.2
- 回答日時:
tan(α+β)=sin(α+β)/cos(α+β) ①
sinとcosの加法定理
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ より①は
tan(α+β)=(sinαcosβ+cosαsinβ) / (cosαcosβ-sinαsinβ) となる この分子と分母を cosαcosβ で割る
=(sinαcosβ+cosαsinβ)/(cosαcosβ) / (cosαcosβ-sinαsinβ)/(cosαcosβ)
=(sinα/cosα+sinβ/cosβ) / (1-(sinαsinβ)/(cosαcosβ))
=(tanα+tanβ) / (1-tanαtanβ)
tan(α-β)=sin(α-β)/cos(α-β) ➁
sinとcosの加法定理
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ より➁は
tan(α-β)=(sinαcosβ-cosαsinβ) / (cosαcosβ+sinαsinβ) となる この分子と分母を cosαcosβ で割る
=(sinαcosβ-cosαsinβ)/(cosαcosβ) / (cosαcosβ+sinαsinβ)/(cosαcosβ)
=(sinα/cosα-sinβ/cosβ) / (1+(sinαsinβ)/(cosαcosβ))
=(tanα-tanβ) / (1+tanαtanβ)
1も2もやり方は全く同じですsinとcosの加法定理を利用して計算するだけです
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 総数、解数、発数、応数の違いは? 3 2023/06/16 11:07
- 数学 純粋数学と応用数学の違いについて、皆さんの考えを教えていただきたいです。 特に、純粋数学にはない応用 6 2023/01/11 11:44
- 予備校・塾・家庭教師 こんにちは。塾講師のバイトを始めた大学一年生です。私は塾が取り入れている教材を用いて、中学二年生に数 3 2022/06/09 09:04
- 高校 高校1年の数学の教科書について。 1 2022/07/05 15:49
- 数学 位数18のアーベル群は同型を除いて何個あるか答えよ。 わからないので考え方や解き方を教えてください。 1 2023/02/08 18:35
- 数学 位数9の郡の中心の数は1や3ではないことを示せ 大学数学の代数学の問題です。どなたか教えて貰えますか 1 2023/01/14 19:26
- 数学 位数36のアーベル群で非同型なものを全て書出せ 大学数学の代数学の問題ですがどなたか教えて貰えますか 3 2023/01/14 18:51
- 数学 合成関数の解き方教えてくれるサイトやアプリがあったら教えてほしいです。。 また数学が詳しい方がいまし 1 2023/01/09 02:25
- 数学 高校数学大学数学を用いた数学の自由研究を行いたいのですが何か良いテーマ等があれば教えていただけたら助 6 2022/08/18 19:23
- 物理学 大学物理に使う数学を教えてください! 3 2023/02/28 13:29
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
高1 数学 sin cos tan の場所っ...
-
画像のように、マイナスをsinの...
-
sinθ+cosθ=1/3のとき、次の式の...
-
e^iθの大きさ
-
どこまで覚えておくべき?
-
sinθ-√3cosθをrsin(θ+α)の形...
-
三角関数のSinθ=-1なら
-
tanθ=2分の1のときの sinθとcos...
-
教えてください!!
-
三角関数です
-
sin二乗2θ+cos二乗2θ=1ですが ...
-
sin,cosの簡単な計算
-
数学
-
0°≦θ≦180°のとき、次の方程式、...
-
sinα+ cosβ=1/2、 cosα+ sinβ=1...
-
∫x^2√(1-x^2)の不定積分
-
数学の問題で。。。0<θ<90 Sin...
-
sin(ωt+θ) のラプラス変換
-
数学 常微分の問題が分かりません
-
【数II/三角関数】 Q.次の値を...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
e^iθの大きさ
-
sin(ωt+θ) のラプラス変換
-
高1 数学 sin cos tan の場所っ...
-
3辺の比率が3:4:5である直...
-
画像のように、マイナスをsinの...
-
教えてください!!
-
sin2xの微分について
-
三角比の問題
-
tanθ=2分の1のときの sinθとcos...
-
三角関数の問題
-
次の三角比を45°以下の角の三角...
-
急いでます! θが鈍角で、sinθ...
-
数学 2次曲線(楕円)の傾きの計...
-
二つの円の重なっている部分の面積
-
θが鈍角のとき、sinθ=4分の3の...
-
0°≦θ≦180°のとき、次の方程式、...
-
sinθ+cosθ=1/3のとき、次の式の...
-
三角形の二辺と面積から、残り...
-
アークサインの微分
-
三角関数
おすすめ情報