【数II/三角関数】 Q．次の値を求めよ。 tanα＝5 のとき、tan2α，cos2α，sin2α

【数II/三角関数】
Q．次の値を求めよ。
　　tanα＝5 のとき、tan2α，cos2α，sin2α
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(自分の解答)
まず tan2αの値を2倍角の公式で求めたところ、－5/12 となりました。次に、｢tan²θ＋1＝1/cos²θ｣を利用して cos2αを求めました。
　tan²2α＋1＝1/cos²2α
　25/144＋1＝1/cos²2α
　cos²2α＝144/169
　cos2α＝±(プラスマイナス)12/13
次に｢cos²θ＋sin²θ＝1｣を利用して、
　cos²2α＋sin²2α＝1
　sin²2α＝25/169
　sin2α＝±(マイナスプラス)5/13　　(復号同順)

となったのですが、解説には
　cos2α＝－12/13，sin2α＝5/13
と書いてありました。なぜ一通りなのでしょうか。単位円のような図を考えても、2通りあるように思えるのですが。。

No.2 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/05/15 17:15

tanαがプラスとなるのは

0≦α<90°か
180≦α<270のときです
つまり一般角としてαが第一象限か3象限のときですが
単位円などにより　tanα=5なら　45<α<90°または225<α<270です（一般角は省略）

ゆえに　90≦2α<180または
450≦２α<540です
一般角としてはαは　第2象限ということになります

ゆえにsin２αはプラス、cos2αはマイナスとなります

この回答へのお礼

なるほど…！でもなんだか直感的には気づきにくいですね…涙

お礼日時：2020/05/15 17:35

No.3 回答者： おろし大根 回答日時： 2020/05/15 17:20

偏角2αは第二象限にあると思います。

何故ならαは第一象限または第三象限なので、
例えばπ<θ<3/2πならば、
2π<2θ<3π なので、2θは第一または第二象限にありますが、問題のtan2αは負の値を取っています。
なので、2αは第二象限に限る。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2020/05/15 17:15

α の範囲に制限が付いていませんか？

0≦α≦パイ　とか。
0≦α≦パイ で tanα＝5 なら、(1/4)パイ<α<(1/2)パイ となります。