光ファイバの比屈折率差について

光ファイバで、コアの屈折率がn1、クラッドの屈折率がn2のとき、比屈折率差Δが、
　Δ ＝ (n1^2-n2^2)/2n1^2 ≒ (n1-n2)/n1
となると本に書いてあるのですが、どうしてこのような近似ができるのですか？

No.3 ベストアンサー 回答者： Teleskope 回答日時： 2004/11/12 20:11

　

　
　　　　　　 n1^2 - n2^2
　　Δ ≡ ──────
　　　　　　　　2n1^2

１．
　回答No1と同様のことを書きますが、n1とn2の差を
　　ε= n1-n2
と表して、n2を
　　n2 = n1-ε　
と書き直して代入すると、

　　　　　　n1^2 - (n1^2-2n1ε+ε^2)
　　Δ = ────────────
　　　　　　　　2n1^2

　　　　　　2n1ε-ε^2
　　　　= ──────
　　　　　　　　2n1^2

　　　　　　ε　　　ε^2
　　　　= ── - ───
　　　　　　n1　　　2n1^2

　　　　　n1-n2
　　　　= ──　-　ε^2の項
　　　　　　n1

ε^2の項が無視できる場合が、教科書の近似式に相当します。
具体的な値が例えば、n1=1.55、n2=1.54だとすると、
　　　　初　項 = 0.0645
　　ε^2 の項 = 0.000032
この程度の近似ですから良好ですね。



２．
　上記が教科書的な回答です。で、もう少し先のほうで、規格化周波数；
　　V = ｋａ√(n1^2-n2^2)　　k=波数、a=コア径
というのを学ぶと思います。これと伝播定数とで モード が決まるのです。このVが小さい、即ち n1^2-n2^2 が小さい範囲が 実用面で望まれるシングルモードの領域です。n1^2-n2^2 の式はΔの定義にもあるので、Δが小さい すなわちεが小さいに繋がる、よって初項のみ、、、これが従来の教科書的な筋道です。
しかし現在、比屈折率差が小さい必要がまったく無い構造のファイバが実用化されつつあります。なのでこの線形近似よりも2乗の式 √(n1^2-n2^2) のままで覚えましょう。レンズの開口数に対応するなど 重要な式です。
　
　

この回答へのお礼

回答どうもありがとうございます。近似のやり方以外にもとても身になる内容を書き込んでいただき、本当に勉強になりました。

お礼日時：2004/11/12 21:14

No.4 回答者： Teleskope 回答日時： 2004/11/12 20:55

　

　
　数値例の計算が違ってました。

　　　　初　項 = 0.00645
　　ε^2 の項 = 0.000021
　
　

No.2 回答者： tocoche 回答日時： 2004/11/12 12:20

No.1 gandhi-さんのおっしゃるとおり、屈折率差はかなり小さいですね。

（シングルモードファイバの場合、屈折率差は０．１％。　臨界角は８７度以上で、モードを１つだけ選択します）

この回答へのお礼

回答どうもありがとうございます。参考にさせていただきました。

お礼日時：2004/11/12 21:16

No.1 回答者： gandhi- 回答日時： 2004/11/11 21:43

自信はありませんが・・・参考程度に考えてみてください。

(n1^2-n2^2)/2n1^2= (n1-n2)(n1+n2)/2n1^2
=(n1-n2)(1+n2/n1)/2n1 = (n1-n2)/n1×(1+n2/n1)/2

確か光ファイバの屈折率差はかなり小さく1パーセント以下だったと思うので（かなり不正確な記憶ですみません）、(1+n2/n1)/2=1と近似して、上の式が得られるのでないでしょうか？
より詳しい方、間違いがあれば修正お願いします。

この回答へのお礼

回答どうもありがとうございます。私はどうも式を変形するのは苦手でして、とても参考になりました。

お礼日時：2004/11/12 21:10