平均値の定理の不等式への応用の問題です。 ・0≦x≦π/2のとき、cosx≧1−(2x/π) を証明

平均値の定理の不等式への応用の問題です。
・0≦x≦π/2のとき、cosx≧1−(2x/π) を証明する。
というものなのですが、その解説において、写真の赤線の部分が指し示す意味が分かりません。
なぜ2/πが0と1の間にあることをわざわざ書く意味です。微分可能を示すものなのかと思いましたがよく分かりません。
分かる方回答お願いします。

No.3 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/12/16 00:32

この解答を作った人は説明が下手でした。

回答者が言いたかったのは、0≦x≦π/2の範囲にf ’(x)=0の解が一つあるということです。
その解の点では、f ’(x)=－(sin x－2/π)=0だから、sin x=2/πとなるので、sin xが０から1まで単調に増加し、その単調増加範囲に2/πがあることを言ったのです。だから不等式で書くと、0<2/π<1となる。この不等式は、単調関数sin xの値を表すものですが、その説明を述べないので、読んでも分からない解答になった。

No.2 回答者： OTZ-STO 回答日時： 2018/12/09 03:34

f'(x)=0となるxがあればf(x)が極値を持つのはいいですね？

f'(x)=-(sinx-2/π)=0となるためにはsinx=2/πとなるxが存在しなければなりません。
0<x<π/2のとき0<sinx<1なので、もし2/πが1より大きければsinx=2/πとなるxが存在しないことになります。
つまり赤線部はsinxの変域の中に2/πがあるから極値をもつっていいたいのです。
でどうでしょうか？

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/12/08 23:29

そのあとの流れにもよるけど, 「f(x) がその範囲で極大値をとる」ことが意味を持ってるのでは?