数学の確率について、教えてください。 当たりくじが2本あり、当たりくじAと当たりくじBとして区別でき

数学の確率について、教えてください。
当たりくじが2本あり、当たりくじAと当たりくじBとして区別できます。
その他、はずれくじが8本あります。合計10本のくじが箱に入っています。
１本ずつくじを引きますが、原則くじは箱に戻しません。
しかし、当たりくじA又はBを引いた時、それまでに引いたくじを全て箱に戻します。
それからまたくじを引きます。
この条件において5回くじを引く時、少なくとも1回当たりくじAを引く確率について、解法をご教授くださいませ。

No.5 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/01/16 17:02

地味に計算するしかないですかね。

以下、ハズレのくじを X、
B または X のくじを ? と書きます。
取り出したくじを順に左から右へ一列に並べて、
例えば、1本目のくじが X、2本目のくじが A、
3本目のくじが X、4本目のくじが(B または X)
である事象を XAB? と書きましょう。
また、その確率を p[XAB?] と書くことにします。

A または B を取り出した後は、くじを箱に戻して
くじ引きをリセットしますから、
p[XAB?] = p[XA]p[B]p[?] となります。
X を取り出した後はくじを戻さないので、
p[XA] = p[X]p[A] にはなりません。

求めたい確率 q は、q = 1 - p[?????] です。
p[?…] を順に計算してみると、

p[?] = p[X] + p[B]
　= 8/10 + 1/10
　= 9/10

p[??] = p[XX] + p[XB] + p[B?]
　= p[XX] + p[XB] + p[B]p[?]
　= (8/10)(7/9) + (8/10)(1/9) + (1/10)(9/10)
　= 721/900

p[???] = p[XXX] + p[XXB] + p[XB?] + p[B??]
　= p[XXX] + p[XXB] + p[XB]p[?] + p[B]p[??]
　= (8/10)(7/9)(6/8) + (8/10)(7/9)(1/8) + (8/10)(1/9)(9/10) + (1/10)(721/900)
　= 6341/9000

p[????] = p[XXXX] + p[XXXB] + p[XXB?] + p[XB??] + p[B???]
　= p[XXXX] + p[XXXB] + p[XXB]p[?] + p[XB]p[??] + p[B]p[???]
　= (8/10)(7/9)(6/8)(5/7) + (8/10)(7/9)(6/8)(1/7) + (8/10)(7/9)(1/8)(9/10) + (8/10)(1/9)(721/900) + (1/10)(6341/9000)
　= 495449/810000

p[?????] = p[XXXXX] + p[XXXXB] + p[XXXB?] + p[XXB??] + p[XB???] + p[B????]
　= p[XXXXX] + p[XXXXB] + p[XXXB]p[?] + p[XXB]p[??] + p[XB]p[???] + p[B]p[????]
　= (8/10)(7/9)(6/8)(5/7)(4/6) + (8/10)(7/9)(6/8)(5/7)(1/6) + (8/10)(7/9)(6/8)(1/7)(9/10) + (8/10)(7/9)(1/8)(721/900) + (8/10)(1/9)(6341/9000) + (1/10)(495449/810000)
= 4243429/8100000
となって、

q = 1 - p[?????] = 3856571/8100000 ≒ 0.476
と計算できます。
分数の計算にミスがありそうで、値に自信はありませんが。

A(n) = p[?がn個], A(0) = 1,
B(n) = p[Xがn個],
C(n) = p[Xがn-1個の後にB]
と置くと
A(n) = B(n) + Σ[k=0～n-1]C(n-k)A(k),
B(n) = 8Ｐn/10Ｐn,
C(n) = 8Ｐ(n-1)/10Ｐn
と書けますが、
A(n) の一般項が簡単な式で書けそうな気はしません。

この回答へのお礼

皆さまありがとうございます。
私が求めたものに一番近そうな解法をご記載頂いた方を、ベストアンサーとさせていただきます。

お礼日時：2019/01/17 23:36

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/01/16 13:43

地道にやるなら

各回とも、「当たり」または「はずれ」となる確率は１（「アタリ」または「はずれ」のいずれでも良いので確率の分母と分子が等しくなるから）
１回目に当たり、２回目以降は「当たり」または「はずれ」となる確率は
2/10x1x1x1x1=1/5
１回目ははずれ、２回目はあたり、３回目以降は「当たり」または「はずれ」となる確率は
(8/10)x(2/9)x1 x1x1=8/45
１,2回目ははずれ、3回目はあたり、4回目以降は「当たり」または「はずれ」となる確率は
8/10)x(7/9)x(2/8)x1x1=7/45
１,2,3回目ははずれ、4回目はあたり、5回目は「当たり」または「はずれ」となる確率は
8/10)x(7/9)x(6/8)x(2/7)x1=6/45
１,2,3,4回目ははずれ、5回目は「当たり」となる確率は
8/10)x(7/9)x(6/8)x(5/7)x(2/6)=1/9
∴求める確率＝1/5+8/45+7/45+6/45+1/9=(9+8+7+6+5)/45=7/9

No.3 回答者： takoハ 回答日時： 2019/01/16 12:23

１本ずつくじを引きますが、原則くじは箱に戻しません。

しかし、当たりくじA又はBを引いた時、

それまでに引いたくじを全て箱に戻します。

それは、その時の当りくじも返すのですか？返さないのですか？
それによって答えが違う？？

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2019/01/16 11:33

ヒント：「少なくとも1回当たりくじAを引く確率」＝1－「1回も 当たらない確率」。

No.1 回答者： 銀鱗 回答日時： 2019/01/16 05:54

＞解法をご教授くださいませ。

どんな組み合わせがあるかを考える。
具体的にどんな組み合わせになるのかを考えることで、そこに規則性を見出すことができるでしょう。

これがこの手の問題を解くときの基本です。
規則性を見つけることが大切です。
がんばって規則性を見つけてみてください。

間違っても
　「数字を入れて計算するだけで問題を解ける方法」
なんてものはありません。
”公式” と呼ばれるものに当てはめることは可能ですが、そこへ数字を入れるまでの過程が分かっていないのです。
ぶっちゃけ ”公式” なんて覚えなくても、その場で公式っぽいことを導き出せば良いだけなんだよなあ。
そのためには一度 ”公式” を導き出しておく必要があります。
さすがにぶっつけ本番で公式を導き出せる天才はそうはいないからね。