半径Rの扇形OAB(ABは⌒)を丸めて、円錐形容器をつくる。R(AO)を一定にして、中心角AOBを変

半径Rの扇形OAB(ABは⌒)を丸めて、円錐形容器をつくる。R(AO)を一定にして、中心角AOBを変化させた時、この容器の容積の最大値を求めよう。
(1)は何となく予想出来ました
(2)r(円の半径)とh(高さ)の間に成り立つ関係式を求めよ。また、rとhの動く範囲を求めよ。
これの解き方がもうサッパリで、何から手をつければいいのか分かりませんでした。
(3)Vの最大値を、求めよ。
これは解いときたいのですが、手順が分かりません。文字が何個もあるので、わからないです。
(4)はrad知らないのでできません。

答えは自力で出します。(2)と(3)のおおざっぱでいいので、解き方の手順を教えてくれませんか。

質問者からの補足コメント

• ほんとわかりやすくて、なんとか解くことが出来ました。(4)は無理だからいいですという意味で書いたradまで…ほんとありがとうございます！
  弧度法あたりを勉強して、三角関数も出来るようになりたいです！

    補足日時：2019/03/28 23:59

No.1 ベストアンサー 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2019/03/26 16:24

1.　公式ですね　

2.　ｒとh の関係はピタゴラスの定理で求められますね。　
3.　1の公式のｒかｈに2で求めた式を代入して　Ｖ（ｒ）（もしくはＶ（ｈ））の形で書き、
　　微分取って2で求めた範囲内（両端を除く）でＶ’＝0になるところを見つければよいです。　
　　三角形の面積が最大と考えると、たぶんｒ＝ｈになるような予感はしますね。
4.　2πｒ＝Ｒ（中心角（°）/360）というのが円錐の肝です。
　　360度＝2π（rad）というのは、角度を別単位で見ているだけです。
　　360度＝2π　と考えますので、
　　180度＝π
　　90度　＝π/2 というような感じで表現しているだけですので、置き換えてみてください。

この回答へのお礼

ほんとわかりやすくて、無事解くことが出来ました！！！！！
radって三角関数あたりなんですね。そこまで説明してくれてありがとうございます！三角関数はまだ難しそうで自主的には手をつけてなかったのでこれを機に手をつけてみようかと思います！加法定理だけは出来るので！

お礼日時：2019/03/28 23:52

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/03/27 12:25

(1) V=(1/3)πr^2・h

(2)ピタゴラスの定理から、R^2=r^2+h^2
中心角をθ(rad)とすると、底の円の外周はRθだから
#扇形の中心角(ラジアン)とは、扇形弧の長さを扇形の半径で割った
#ものなので
r=Rθ/(2π)
θは0~2πだから、r=0~Rですね。
すると上の関係式からh=0~R

(3) 全部θで表すやり方で解くと、おおざっぱという訳にも行かないので

h=√(R^2-(Rθ/(2π)^2)=R√(1-(θ/(2π))^2)

面倒なので、a=θ/(2π)とすると(aは360度に対する割合)
a=0~1
r=Ra
h=R√(1-a^2)
V=(1/3)πR^3・a^2√(1-a^2)

aで微分すると

dⅤ/da=(1/3)πR^3・(2a・(1-a^2)^(1/2) - a^2・2a・(1/2)(1-a^2)^(-1/2))
=(1/3)πR^3・(1-a^2)^(-1/2)・(2a(1-a^2)-a^3)
=(1/3)πR^3・(1-a^2)^(-1/2)・a(2-3a^2)

微分が0なのはa=1とa=√(2/3)の時ですが、a=1はV=0となる最小点。
a=√(2/3)は微分が正から負へ転じる点なので、極大点であることは
明らか。


従ってVはa=√(2/3) で最大になります。これは(4)の後半の答そのものですね。

後は計算するだけなので省略。

この回答へのお礼

なるほど！！！(3)から(4)にまで繋がることに感動しました‪⸜(*ˊᵕˋ* )⸝‬
数を記入までありがとうございます！解いてる最中に安心することができました！
ありがとうございました！

お礼日時：2019/03/28 23:57

No.2 回答者： den_denmushi 回答日時： 2019/03/27 08:14

いろいろ記述していますが、自力で解決したいそうなのでヒントにしてください。

ちなみにradとは角度を円周の長さで表す方法で360度は2πです。

この回答へのお礼

分かりやすい図をありがとうございます！！！！
radの説明までありがとうございます！これを機にrad攻略していきたいと思います！ありがとうございました！

お礼日時：2019/03/28 23:54