電磁誘導の法則 (４分円の扇形の磁場での回転)

この問題が解けません：

磁束密度２Bで紙面に垂直で裏から表へ向かう向きの一様な磁場の領域と、磁束密度Bで紙面に垂直で表から裏へ向かう向きの一様な磁場の領域が隣接していて、その左側には磁場がない空間があり、半径aの４分円の扇形のコイルを点Oを中心として回転させた。OPがOAと重なる時刻をt=0とし、O→P→Q→Oの向きを誘導起電力Vの正の向きとしたとき、Vとt（0<=t<=(3π/2ω)）の関係を表すグラフが図
２のようになった。ただし、回路の自己誘導は無視できるものとする。

V2はどのように表されるか？


自分で計算してみたところ、V2=-[B*{(π/4)*a^2-(ω*Δt/2π)*πa^2}]/(Δt)という式を書きましたが、Δt＝π/2ωを代入すると、成果はもちろん、正しくではありません。
答えは：V2＝（3/2）*B*(a^2)*ωです。

どうすればいいですか？V1やV3を計算する必要があるのでしょうか。
Φ＝BSにおいてこのSの式を正しく立てることができません。

手伝っていただければ、嬉しいです。
よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2019/06/26 10:14

＞Φ＝BSにおいてこのSの式を正しく立てることができません。

ここがポイントでしょうね。
S は磁束の横切る断面積ですから、問題に場合には時間とともに変化します。
OAとOPのなす角度を θ とすれば
　θ = ωt
で、S はこの角度の作る扇形の面積ですから
　S = パイa^2 * (θ/2パイ) = (1/2)a^2*θ = (1/2)a^2*ωt
です。

従って、磁束の向きを紙面の「裏→表」を「正」とすると（扇形に反時計回りの電流を作る右ねじの方向）

(i) 扇形が「2B」の領域だけを通過している 0≦θ≦パイ/2 のとき、磁束は
　　Φ1 ＝ 2BS = 2B*(1/2)a^2*ωt = B*a^2*ωt
　このときの電磁誘導の起電力は
　　V1 = -ΔΦ1/Δt = -B*a^2*ω*Δt/Δt = -B*a^2*ω

(ii) 次に、扇形が「2B」の領域から「-B」の領域に移行している パイ/2≦θ≦パイ のとき
　　「-2B」の領域の面積
　　　　Sa = (1/2)a^2*(パイ/2 - ωt)
　　「+B」の領域の面積
　　　　Sb = (1/2)a^2*(ωt - パイ/2)
　になるのは分かりますね？　進むに従って「2B」の領域の面積が減って、「-B」の領域の面積が増えるということです。
　従って、磁束の合計は
　　　Φ3 ＝ 2BSa + (-B)*Sb
　　　　= 2B*(1/2)a^2*(パイ/2 - ωt) - B*(1/2)a^2*(ωt - パイ/2)
　　　　= (3/4)パイ*B*a^2 - (3/2)B*a^2*ωt
　このときの電磁誘導の起電力は
　　V3 = -ΔΦ3/Δt = (3/2)B*a^2*ω*Δt/Δt = (3/2)B*a^2*ω
　（ΔΦ3では、定数項であるΦ3の第1項は相殺して消えます）

(iii) 次に、扇形がすべて「+B」の領域に入り、そこから抜け出している パイ≦θ のとき
　　S = (1/2)a^2*(パイ/2 - ωt)
　ですから、磁束は
　　Φ2 ＝ -BS = -B*(1/2)a^2*(パイ/2 - ωt) = -(パイ/4)B*a^2 + (1/2)B*a^2*ωt
　このときの電磁誘導の起電力は
　　V2 = -ΔΦ2/Δt = -(1/2)B*a^2*ω*Δt/Δt = -(1/2)B*a^2*ω

以上より、V2 の値は選択肢の中では「4」です。
上では V1, V2, V3 をまとめて求めましたが、V2 だけ求めるなら V1, V2 は求める必要はありません。
(ii) の場合の２つの領域の「面積」と、それに伴う合計の「磁束」が求められればよいだけです。

この回答へのお礼

:D 本当にありがとうございます！
なるほど、面積は(π/4)*a^2*(θ/2π)ではなく、πa^2*(θ/2π)で表されますね
やっと分かりました〜

お礼日時：2019/06/28 04:26