剛体のつりあい（半球殻＋棒）

このような問題があります：

半径Lの内面を持った半球殻をもつ茶碗が縁を上方水平にして固定されている。質量m、長さ２Lの一様で真っ直ぐな細かい棒の一端を半球殻の最下点Aにのせ、他端を外部に出して半球殻の縁Bに立てかけて静止させた。この時、棒と水平面は４５度をなしていた。半球殻の縁Bでは棒に摩擦力は働かないが、最下点Aでは摩擦力が働くものとする。

点Aで棒に働く垂直抗力の大きさはどのように表されるか？
答えは：N=(1-(sqrt(2)/4))*mg 選択肢では３番目となっています。

「壁に立てかけた棒の力のつりあい」の問題に似ていますが、なかなか解くことができませんね…

何かヒントをいただければ、嬉しいです〜
よろしくお願いします

No.3 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2019/07/07 21:10

Ａ点での垂直抗力は鉛直上向きに Na

Ａ点での摩擦力は水平右向きに Fm
Ｂ点では摩擦力がないので、垂直抗力は左上45°方向に Nb
とおきます。

そうすると
(a) 鉛直方向の力のつり合い
　mg = Na + Nb*cos(45°) = Na + Nb/√2　　　　①
(b) 水平方向の力のつり合い
　Fm = Nb*sin(45°) = Nb/√2　　　　　②
(c) Ａ点周りの力のモーメント
　mg * L*cos(45°) = [L/sin(45°)] *Nb
→　mg/√2 = (√2)*Nb　　　　　　　　③
(d) B点周りの力のモーメント
　mg * [L - L*cos(45°)] + Fm * L = Na * L
→　mg * (1 - 1/√2) + Fm = Na　　　　　　　④

これを解いて、
③より
　Nb = (1/2)mg

これを①に代入して
　Na = mg - Nb/√2 = mg - (1/2√2)mg = (1 - √2 /4)mg
これは選択肢では「３」。

②より
　Fm = Nb/√2 = (1/2√2)mg = (√2 /4)mg
これが摩擦力。

この回答へのお礼

回答をどうもありがとうございました：）

③まではよく分かりましたが、力のモーメントがちょっと下手なので、
＞mg * L*cos(45°) = [L/sin(45°)] *Nb②
や
mg * [L - L*cos(45°)] + Fm * L = Na * L③
の式がどこから来るか分かりません…

よろしければ、それらを図で表していただけないでしょうか
お願いします〜

お礼日時：2019/07/08 07:17

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2019/07/08 12:47

No.3 です。

「お礼」に書かれたことについて。

＞③まではよく分かりましたが、力のモーメントがちょっと下手なので、
＞mg * L*cos(45°) = [L/sin(45°)] *Nb②
＞や
＞mg * [L - L*cos(45°)] + Fm * L = Na * L③
＞の式がどこから来るか分かりません…

きちんと自分で図を書いて、力を作用点に書き込んで式を立てていますか？
下記の図を見ながら確認してください。

Ａの周りのモーメント
・重心の重力mg：時計回り、腕の長さ L/√2
・Ｂの垂直抗力 Nb：反時計回り、腕の長さ (√2)L

B の周りのモーメント
・重心の重力mg：反時計回り、腕の長さ「L - L/√2」
・Aの垂直抗力 Na：時計回り、腕の長さ L
・Aの摩擦力 Fm：反時計回り、腕の長さ L

この回答へのお礼

とても勉強になりました！
伝えきれないほど感謝です〜

お礼日時：2019/07/18 01:41

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2019/07/07 13:30

A,Bの垂直抗力をそれぞれ、N,Sとする。

鉛直方向のつり合い　N+S/√2=mg、A周りのモーメント釣合
mg/√2=(√2)S → S=mg/2. 　したがって、N=(1-1/(2√2))mg=(1-(√2)/4)mg

No.1 回答者： amerikaumare 回答日時： 2019/07/07 06:08

ほお　いい問題ですね