「xについての2次方程式x^2-2mx+2m+7=0の解がともに整数となるような整数mをすべて求めよ

「xについての2次方程式x^2-2mx+2m+7=0の解がともに整数となるような整数mをすべて求めよ。」
写真はこの問題の解説です。
解説で、(α,β)=(3,5),(-3,-1)を求めてmを出す所まで理解は出来たのですが、何故この時にm^2-2m-7が平方数になる事を確かめないのですか。解が整数になるのだからm^2-2m-7は平方数にならないといけませんよね？だからその確かめが必要だと思ったのですが。

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/07/27 21:08

α,β を条件を満たす整数であるように決めた後の話ですよね。

α,β が整数になることから、m^2-2m-7 が平方数であることは保証されている
ので、確認は不要です。

No.4 回答者： majimelon37 回答日時： 2019/07/29 04:38

α,βが、2次項の係数が１の,２次方程式の２根ならば、判別式Dは

D＝(β－α)^2　だから、β－αが整数なら、Ｄは平方数です。
この質問文の写真の解法なら、α,βが整数だから、Ｄは平方です。

No.2 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/07/27 20:32

そもそも、この問題では解の公式を用いる必要はありません。

なので、この問題についてはルートの中が平方数であるかを確かめる必要はありません。

問題で「解がともに整数」という条件をつけているので、2つの整数解α, βと解と係数の関係だけで答えを導出できます。
さらに書くと、α+β=2m, αβ=2m+7なので、α, βの和が偶数、積が奇数になるものを選べば良いことになります。

No.1 回答者： むらさめ 回答日時： 2019/07/27 20:23

解の公式から、

x＝(2m±√(4m^2-4(2m+７)))　/　2　←　√の中は4倍数なので2として√の外にでる、∴√(m^2-2m-７)　となります。
解の公式で求めているのですが、分子と分母とを約分する過程を省略しているだけですね