√3 を連分数展開するとどうなりますか？

√3 を連分数展開するとどうなりますか？

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/06/18 19:12

二次無理数といって、a+b√c (a,b,cは有理数,√cは無理数)

という形の無理数は、整数係数の循環連分数に展開できる。

循環節 2 の正規連分数は x = p + 1/(q + 1/x) と書けるが、
整理すると qx^2 - pqx - p = 0 となる。
この式が x = √3 を解に持つような整数 p,q は無いから、

替りに x = r ± √3 を考えてみよう。
x = r ± √3 を解に持つ整係数方程式として
(x - r)^2 = 3 がある。これを展開した x^2 - 2rx + (r^2 - 3) = 0 と
qx^2 - pqx - p = 0 が一致するように、p = 2r, q = -2r/(r^2 - 3).
この p,q が整数になるような r として、
例えば r = 1, p = 2, q = 1 がある。
こうして、1 + √3 = x = 2 + 1/(1 + 1/x) が得られた。

これ変形して、
√3 = x - 1,　x = 2 + 1/(1 + 1/x) が √3 の連分数展開になる。

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2020/06/18 17:58

以下の通り

この回答へのお礼

ありがとうございます！！

お礼日時：2020/06/18 18:06