2種類の原子からなる1次元の格子振動についてです。式(7.10)をk≒0でsin(ka/2)＝ka/

2種類の原子からなる1次元の格子振動についてです。式(7.10)をk≒0でsin(ka/2)＝ka/2と近似して角振動ωを求めているのですが、代入しても書いてある角振動数の値が出ません。どのように計算すればよいのでしょうか？
なおMa,Mbはそれぞれの原子の質量、Kはバネ定数、kは波数ベクトルの大きさ、aは原子間隔です

No.1 回答者： angkor_h 回答日時： 2019/08/16 17:33

sin(ka/2)＝ka/2と近似して角振動ωを求めているいること、

代入して書いてある角振動数の値を求めること、
とは、
全くの別問題です。

No.2 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2019/08/16 18:20

K>0 らしい。

A=K(1/Ma+1/Mb)とおく。
w²=A±√{A²-K²4sin²(ka/2)/(MaMb)}≒A±√{A²-K²(ka)²/(MaMb)}

まず、+の評価をするが、(ka)²≒0 とすると
w²≒A+√(A²+0)=2A → w≒√(2A)=√{2K(1/Ma+1/Mb)}

つぎに、-の評価をする。 √(1-x)≒1-x/2 (x≒0のとき)を使って
w²≒A-A√{1-K²(ka)²/(A²MaMb)}≒A-A{1-K²(ka)²/(2A²MaMb)}=AK²(ka)²/(2A²MaMb)
=K²(ka)²/(2AMaMb)=(ka)²K/{2(Ma+Mb)}
→　w=ka√[K/{2(Ma+Mb)}]

この回答へのお礼

＋の方の近似はka=0を代入
－の方の近似はテイラー展開をすればいいんですね
分かりやすい解説ありがとうございました！

お礼日時：2019/08/16 18:38