三角関数 sinΘ=y 、 cosΘ=xの意味

Question

いつもこちらではお世話になっております。
高校数学を勉強しております。

三角関数の勉強をしておりますが、いまいち分かりません。
sin、cos、tanというのは、直角三角形における「辺の比≒辺の長さ」ということは理解しました。

現在、弧度法を使った三角関数を勉強していますが、
　r=1とすると、sin=yとする
と説明され、そこに至る経緯と結果も理解は出来ました。

しかし、「辺の比」をあらわすものが、分数ではなく「=y」と言われてしまうと、
これはいったい、何を意味するのだろうか？と分から無くなってしましました。
(「y:1」かもしれませんが)

sin、cos、tan　というのは、「辺の比」という理解でよろしいのでしょうか？

よろしくお願いします。

masterkoto · Accepted Answer

そもそも、出発点が少々ずれているのかもしれません
初めて　sin cos tan という数式を見る人にとっては
「こりゃなんじゃ？」となりますよね。
そこで、sin　cos　tan　とはなにものなのか　という説明（決めごと）
すなわち定義　が必要となります
そこで高校数学ではこれを２通りに定義しています。
①底角をOとQとする直角三角形POQで
O=θ、Q=90度　とすると
sinθ＝高さ/斜辺＝PQ/OP
cosθ=底辺/斜辺
tanθ=高さ/底辺
これが1つ目の定義（決めごとです）ですよね
②座標平面において　Oxを始線として
動径OPを表す角をθ、
OP=r,Pの座標を(x,y)とすると
sinθ=y/r
cosθ=x/r
tanθ=y/x
これが2つ目の定義です
①は初学者が習う定義で、直角三角形にのみ通用する「狭い」定義です。
一方②は座標を用いた定義で、直角三角形以外にも通用するので「広い」定義です
したがって、狭い定義①ではなく広い定義②を用いるほうがいろいろな場面で使用できて便利というのは言うまでもないことです

ということは、三角関数とは本来、②のような決めごとだ　と言うほうが幅広く通用しやすいのです
ここに、y/r,x/r/,y/xの値は半径rに無関係でθの値によって決まるので
θの正弦(sin)、余弦(cos)、正接(tan)とは　θまたはPの座標(x,y)の値によって決まる関数だということができるのです
（θとPの座標は連動しています）

この決めごと②を直角三角形に適用して、θの範囲を狭めて限定すると
θの正弦(sin)、余弦(cos)、正接(tan)は、直角三角形の辺の比であるとも言えなくはないという位置づけになる　
と考えると良いかもしれません。

ありものがたり · Answer

三角関数を直角三角形の辺の比と考えてしまうと、
sinθ, cosθ の θ が 0 < θ < 90° の範囲を越えたときに
とまどうことになります。

原点中心で半径 １ の円周上の点の座標が (cosθ, sinθ),
tan は tanθ = sinθ/cosθ. であることを基本として、

たまたま θ が 0 < θ < 90° の範囲にあるときには
(0,0), (cosθ, sinθ), (cosθ, 0) を頂点とする直角三角形の
三角比が三角関数と一致している。
記号が同じだからややこしいが、三角関数と三角比は別のもの
と考えたほうが、一般角に対する三角関数がすっきり理解できます。

kairou · Answer

＞sin、cos、tan　というのは、「辺の比」という理解でよろしいのでしょうか？

チョット違うような。
sin、cos、tan　というのは、「辺の比の値」です。
「比の値」と云う言葉は、小学校の 5～6年の時に 習った筈ですが。
・「辺の比」は 2：1 と云う形になります。
・「比の値」は 2÷1＝2/1＝2 という形になります。

＞分数ではなく「=y」と言われてしまうと

いいえ、Y が分数でも 差し支えありませんよ。
三角形で云うと、斜辺が 3 で、高さが 2 なら、
sin の値は 2/3 で 分数になります。

t_fumiaki · Answer

yの値はrの値が何であっても弧度法です。つまり斜辺に対するyの比率（本来は半径)。

だから、y/r=sinθ [y/斜辺] であり、r=1とすればy=sinθになります。

下図で、赤の円弧の長さ弧度法でθとすると（角度じゃ無くて、弧の長さです）、

青色の弦の長さyを弧度法で表すと、y=sinθとなります。
（sinを正弦と言うのは、弧の側の弦だからです）

緑色の弦の長さxを弧度法で表すと、x=cosθとなります。
（cosを余弦と言うのは、弧のもう一方側の弦だからです）

茶色の接線の長さLを弧度法で表すと、L=tanθとなります。
（tanを正接と言うのは、弧の側の接線だからです）

あくまで、弧の長さ（弧度法)に対する演算で定義されています。

その図から変形すると、直角3角形の斜辺に対する、各辺の比として求まります。

が、元々の定義は図の通りなんです。

tknakamuri · Answer

普段はあまり区別しないけど、
比と比の値(比の左の値を右の値で割ったもの、比率)は別物。

2:3 = 4:6
2/3 = 4/6

だけど
2:3=2/3
とはかけない。

三角関数は比ではなくて比の値。sin, cos は」斜辺に対する隣辺の長さの比率。

mide · Answer

はい，r=1だからsinはy:1，あるいは分数でy/1と考えていいと思います。単位円だから分母が1で便利なんです。「比」というのが2つの数でないと落ち着かないというなら「比の値」と考えればよいでしょう。

> sin、cos、tan　というのは、「辺の比」という理解でよろしいのでしょうか？

それでもいいですが，最初から単位円上で sinθ=y, cosθ=x, tanθ=sinθ/cosθを定義として考えるのがいいと思います。定義だからそれを sin, cos, tan と呼べば便利に使えるというだけで，なぜそうかと考える必要はありません。

三角形の辺の比と考えるよりこの方がいいのは，それぞれの値がマイナスになるとき座標を見れば明らかだからです。

mabuterol · Answer

y は数値です。数値なので、分数で表現しても良いし小数で表現しても良い。
おそらく貴方の頭の中では、比と言えば 2:1 とか 2:3 とか、そういう表現方法しか浮かばないのだと思います。
比という言葉を使わず割合という言葉に変えてしまいましょう。
斜辺が 2 で高さが 1 ならば、sin の値は 1/2 とも言えるし 0.5 とも言えるし 50% とも言える。

三角関数は、確かに日本では直角三角形から始まる勉強法が多いんですが、どちらかと言えば、ある角度 θ を考えた時に、その θ に関係する、斜辺と底辺の割合、斜辺と高さの割合、底辺と高さの割合と考える方が良いです。大事なのは角度 θ

三角関数 sinΘ=y 、 cosΘ=xの意味

そもそも、出発点が少々ずれているのかもしれません

三角関数を直角三角形の辺の比と考えてしまうと、

＞sin、cos、tan というのは、「辺の比」という理解でよろしいのでしょうか？

yの値はrの値が何であっても弧度法です。

普段はあまり区別しないけど、

はい，r=1だからsinはy:1，あるいは分数でy/1と考えていいと思います。

y は数値です。

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