[0,1]区間上の関数f(x)=x^2に対し、フーリエ余弦級数とフーリエ正弦級数を求めよ。 解き方わ

[0,1]区間上の関数f(x)=x^2に対し、フーリエ余弦級数とフーリエ正弦級数を求めよ。

解き方わかる方いらしたら教えてください。
フーリエ余弦正弦級数とは、AnとBnを求めればいいんですよね？

No.2 ベストアンサー 回答者： 昭和おやじ 回答日時： 2020/04/23 22:28

[0,1]区間でフーリエ変換すると下記の式になります．

f(x)=A0+Σ{An*sin(2nπx)}+Σ{Bn*cos(2nπx)}，n=1～∞
ご質問にあるように，AnとBnを求めれば良いです．
また，質問者様がNo1回答へのお礼に書かれているように，答えは一つに定まります．
ただし，nをどこまで展開するのかによって，A0だけは答えが違ってきます．
なので厳密に言うと，No1回答者様が書かれているように，答えは無限で一つに定まらないとも言えます（ただ，それはA0だけの問題なので，あまり気にしなくて良いかと）．
さて，AnとBnの求め方ですが，分かりやすく式を展開して説明するのはとても難しいので，n=1におけるA1の求め方だけをざっくりと書きます．詳しくは「フーリエ解析Ⅰ キャンパス･ゼミ 馬場敬之,高杉豊 マセマ出版社」を読むと一発で理解できます．
①両辺に sin(2πx) を乗じる，この時，A1の項は sin(2πx)^2 となる．
➁両辺を区間[0,1]で積分する．すると右辺は，A1の項以外は全てゼロになる．これが肝で全てです．
➂左辺は ∫f(x)*sin(2πx) なので，A1は下記の式となる．
A1={∫f(x)*sin(2πx)}／{∫sin(2πx)^2}

他のAnとBnの求め方も同じです．
ちなみに，私は社会人の実務技術者なので，具体的にA1を求める場合はPCで数値計算しますが，院での試験の場合に，上記が手計算できるのかは私には分かりません．
参考になれば幸いです．

この回答へのお礼

なるほどです。ご丁寧に有難う御座いました(￣^￣)ゞ
どの方も、何言ってるんだの感じでのお返事でしたのでしっかりお答えして頂けて嬉しいです。
もう一度①~③のステップで考えてみたいと思います

お礼日時：2020/04/23 22:57

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/04/23 19:35

フーリエ変換すれば良いはずですが

区間の外は未定義なので、それを
周期関数となるように決めれば
フーリエ級数展開は可能でしょう。

当然、周期関数の決め方は無限にあるので
答えは一つに定まりません。

この回答へのお礼

院試の問題なので、定まるはずなのですが？？

お礼日時：2020/04/23 20:49