f(x)=三乗根√x^2の極値を求めるっていう問題なんですけどどうして絶対値をつけているのですか？ま

f(x)=三乗根√x^2の極値を求めるっていう問題なんですけどどうして絶対値をつけているのですか？また、赤丸の部分の-1はどこから出てきたんですか？そのあとの計算でルートの中のマイナスが取れている部分も疑問です

No.2 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/06/14 23:08

>絶対値をつけているのですか？

なぜ絶対値をつけたかは分からないが、絶対値は不要。

>赤丸の部分の-1はどこから出てきたんですか？

積の微分で-xを微分したから。

>そのあとの計算でルートの中のマイナスが取れている部分も疑問です

外側のマイナスと三乗根の中のマイナスとをかけ合わせているから。

正直なところ、解説を書いた人が三乗根を平方根と混同しているようにしか思えない。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/06/14 23:02

ｘ の正負が決まっていないとき、 x² = |x|² だからです。

この部分は、3乗根とは直接関係はありません。
実は、³√x は x が負でも定義できて ³√(-x) = -³√x
になるので、x の正負によらず ³√(x²) = (³√x)² です。
だから、そこの絶対値記号は要らないといえば要らないのですが、
教科書によっては、指数が整数でないベキ乗が定義されるのは
底が正数のときだけと書いてあるので、それに合わせるために
x² = |x|² を利用しているのでしょう。
x < 0 に対する x^(有理数) が定義できるにためは、
指数が任意の有理数でよいわけではなくて、
指数を既約分数で書いたときに分母が奇数である必要があります。
まあ、ややこしい上に応用できる場面も少ないので、
x^(非正数) が定義できるのは x > 0 のときだけ
と割りきったほうが無難ではありますね。教科書にも書いてないし。

赤丸の (-1) は、合成関数の微分法則から出てきます。
u = -x と置くと、 (d/dx)f(x) = { (d/du)f(x) }(du/dx) です。
(d/du)f(x) = (d/du)u^(2/3) = (2/3)u^(-1/3) = (2/3)(-x)^(-1/3) であり、
du/dx = -1 が質問の (-1) となっています。

そのあとの計算で ³√ の中のマイナスがとれているのは、
上のほうに書いた ³√(-x) = -³√x を使ったからです。
あれ？ ここでそれを使うなら、最初から |x| を使わなくてもいいのにな。