数Ⅲ 微分 y=(3)√x^2 ←xの2乗の、3乗根という意味です

y=(3)√x^2　を微分せよ、という問題なのですが、

解答では、
y=(3)√x^2
＝x^(2/3)　　　…(＊)
y'=2/3 x^(-1/3)
＝2/{3 (3)√x}　…①

としています。

しかし、(＊)という式はx≦0のとき、正しいのでしょうか？
なぜ正しくないと感じたかというと、、数Ⅱの教科書には、a^xについて、xを整数から有理数に拡張したときに、a>0と定義されていたからです。

a<0を許すと、たとえば、
-1=(-1)^(2・1/2)={(-1)^2}^(1/2)=1^(1/2)=√1=1
のような、おかしな式変形が可能になってしまいます。

たしかに、①で得られた答えは、場合分けをして得られる答えと一致するのですが、これはたまたま答えが一致しているだけなのでしょうか？
それとも私が間違っているのでしょうか？


非常に困っています
回答よろしくお願いします。


補足
たとえば、
(3)√64 =4　27^(2/3)＝9
です。（3乗根など、読みづらくてすみません）

No.3 ベストアンサー 回答者： M光國 回答日時： 2015/03/17 06:36

No1.No2.は間違いです．

質問者がほぼ正しい答えを書いているのに，
嘘の回答を書いて質問者を中傷するのはやめましょう．

　√x ≡ x^(1/2) は書き方が違うだけで，全く同じもの．
　「x^2＝y (y>0) の解の「正」の方を√y＝y^(1/2)と書く」
　 だから，1^(1/2)=±1 ではありません．当然１です．
　(負の数)^(実数)は、複素数の範囲でしか定義されません。
　√(-1)＝(-1)^(1/2)＝i(純虚数) は習いませんでしたか？ ＞No.2
　「a<=>0で区別しろと・・」？，では 　0^(-1/3)　ていくつ？
　複素領域で「奇数乗根は符号を保存」なんて意味不明です．
　それこそ，「頭は大丈夫ですか。」＞No2.

さて、つまらない前置きをしましたが、

質問者の述べていることは、ほとんど正解です。

１．数Ⅲの範囲では，質問者が言うように，
　　x^p は p が実数のときは　x>0 と定義しなければなりません．
　　また，この関数の場合は，X>0 しか実数値を取りませんので，
　　f'(x)は X>0 でしか(通常の意味での)微分としては意味を持ちません．
　　注. x^(-1)＝1/x 等があるからx＝0を含んではいけない．

２．次に質問者の疑問点ですが
　　「　a<0を許すと・・・・　」
　　の部分は，「a<0 では定義されない」といえば、議論になりませんが・・・
　　a<0 でも，べき乗mが「整数」ならば a＾m は（数Ⅲの範囲でも）
　　定義されてますので，疑問は残るかもしれませんね．
　　質問者が書いているように ((-1)^p)^q=(-1)^(p･q) となりそうだからですよね。
　　しかし、この関係式は 「p,q がともに整数」の時しか成り立ちません。
　　指数部を実数の積に分けると、まさに質問者が示した通り、矛盾が生じますので、
　　上記式は成り立たないのです。(複素数の範囲では後述の意味で成り立つ)

さて数Ⅲの範囲を出て良ければ
３．Z^p は，Z,p どちらも「複素数」の範囲で定義することができます．
　 (複素数は四則演算，べき乗の演算で必ず答えがある（複素数体は代数的閉体）)
　　複素数の範囲での x^pは、「オイラーの公式」というのをつかうと次のように書けます。
　　複素数Z＝r(cosθ+i･sinθ) （i=√(-1):純虚数、r>0）とおくと
　　　Z^p＝(r^p){cos(pθ)+i･sin(pθ)}

　　ところで、-1＝cos(π)＋i･sin(π) 　(わかりにくいが π=パイ）と書けるので、
　　(-1)^(1/3)＝cos(π/3)＋i･sin(π/3)＝1/2＋i･(√3)/2
　　となります。これを3乗すると確かに　-1　になります。

　　ところで、(-1)^(1/3)＝-1 ではないのか？という疑問がわきますよね。
　　次の方程式をオイラーの公式を使って解いてみましょう。
　　Z^3＝{r(cosθ+i･sinθ)}^3＝(r^3)(cos3θ+i･sin3θ)＝-1
　　　両辺の（複素数の）絶対値を比較して　r^3＝|-1|＝1　故に　r=1
　　　実数部と虚数部を比較してcos3θ=-1，sin3θ=0
　　故に 3θ＝2mπ＋π (m:任意の整数：このため複数個の解が出る)
　　　　　θ＝2mπ/3＋π/3
　　ということで、求める解Zは
　　Z=cos(2mπ/3＋π/3)+i･sin(2mπ/3＋π/3) と求まります．
　　mにいろいろな整数を与えると、
　　Z=｛1/2＋i･(√3)/2，1/2ｰi･(√3)/2，-1｝の3個の解が求まります．

　　ところで、オイラーの公式では、-1 を表すとき、
　　-1＝cos(2mπ＋π)＋i･sin(2mπ＋π) （m：整数)　も成り立つので、2mπの自由度があるのです．
　　ここで、m＝3 として、-1＝cos(3π)＋i･sin(3π) と置いてもよいわけで
　　この場合　(-1)^(1/3)＝cos(π)＋i･sin(π) ＝-1　となります．

　　しかしながら、一般にZを複素数で表す時、偏角に2mπを加えただけの自由度があるのですが、
　　(-1)^(1/2)の値を -i でなく　i としたように、偏角が最も小さいZを Z^(実数) の値とします．
　　つまり、(-1)^(1/3)＝{cos(π)＋i･sin(π)}^(1/3)＝ 1/2＋i･(√3)/2 　とするのです．

　　この、2mπの自由度を考慮すると複素数の世界では
　　 (Z^p)^q=Z^(p･q) という公式がすべての複素数 Z,p,q について成り立ちます．

４．さらに，複素数の範囲でも「微分」は定義できますが(複素関数論)，
　　一般的には変数も関数値も複素数の範囲になるので，微分の意味がやや難しくなります．
　　しかしながら，いわゆる初等関数は，ほぼ同じ形の微分が存在します．
　　それで，問題の関数は複素数の範囲でも微分が存在し
　　　f(Z)＝Z^(n/m)　(z：複素数、ただしz≠0，n,m：整数）では，
　　　f'(Z)＝(n/m)Z^(n/m-1)　となります．

No.2 回答者： spring135 回答日時： 2015/03/17 00:20

とてもつまらない議論です。

奇数乗根は符号を保存します。

-1=(-1)^(2・1/2)={(-1)^2}^(1/2)=1^(1/2)=√1=1

頭は大丈夫ですか。

-1=(-1)^(2・1/2)={(-1)^2}^(1/2)=1^(1/2)=±1

これから-1を独断で選択しているのにすぎません。a<=>0で区別しろと教科書は言っているのです。

何も変わらない、とてつもなく無意味で不毛な議論です。

へ理屈をこねるな。ちゃんと王道に沿って勉強せよ。

No.1 回答者： lupan344 回答日時： 2015/03/16 21:16

ある意味非常に良い質問です。

質問文の問題は、3乗根（一般には奇数乗根）だから、ｘが負でも解が得られます。（3乗の場合は、負の数が基底でも、解は負の数になります）