数学の問題です a-3+(2-b)√3+√3(a-2b√3)=0を満たす有理数a、bの値を求めよ。

数学の問題です
a-3+(2-b)√3+√3(a-2b√3)=0を満たす有理数a、bの値を求めよ。
この問題で、√3=-(a-6b-3)/a-b+2となり左辺は無理数で右辺が有理数となるから、a-6b-3=0、a-b+2=0とあったのですが、なぜa-6b-3=0、a-b+2=0となるのか教えてください！

No.3 ベストアンサー 回答者： kairou 回答日時： 2020/09/06 13:37

「√3=-(a-6b-3)/(a-b+2)となり」って、この変形は 変ですよ。

これは a-b+2≠0 の条件下で 成り立つ式ですから。

問題の式を整理すると、
(a-b+2)√3+(a-6b-3)=0 となります。
a, b が 有理数ですから √3 の係数が 0 でないと √3 が消えません。
つまり a-b+2=0 となり、
すると a-6b-3=0 となりますね。
この2つの式を解けば、a=-3, b=-1 となります。
これを 問題の式に代入すれば、
-6+3√3-3√3+6=0 で 成り立つことが 確認できますね。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/09/06 00:56

背理法でしょ。

a-b+2≠0 と仮定すると、与式は √3=-(a-6b-3)/(a-b+2) と変形できることになるから、
a,b が有理数より右辺は有理数、左辺は無理数となって矛盾する。よって a-b+2≠0 ではない。
a-b+2=0 だということになるから、(√3)(a-b+2)=-(a-6b-3) へ代入して a-6b-3=0。

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/09/05 23:20

a-3+(2-b)√3+√3(a-2b√3)=0を有理数と無理数√3に整理すると、

a-3+(2-b)√3+√3(a-2b√3)=0
a-3+(2-b)√3+√3a-6b=0
a-6b-3+(a-b+2)√3=0

0以外の有理数×無理数は無理数になる。
よって、式を満たすには、

a-6b-3=0
a-b+2=0

でなければならない。
ちなみに、a=-3, b=-1になる。