この問題の(2)の速さを自然長基準の力学的エネルギー保存で解いてほしいです

ばね定数k[N/m]の軽いつる巻きばねの一端に,質量 m[kg]の小球をつ
けたばね振り子を鉛直につるした。重力加速度の大きさを g[m/s'] と
する。
(1) 小球がつりあいの位置で静止しているときのばねの伸び xo[m]を求
めよ。
(2) ばねの伸びを 3xo[m]にし,手を静かにはなしたところ、小球は単
振動を始めた。このとき,単振動の振幅 A[m],周期 T［s], 速さ
の最大値v[m/s]を, k, m, gで表せ。円周率をπとする。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2020/09/26 18:41

＞自然長基準の力学的エネルギー保存で解いてほしいです

やり方が分かっていて、自分でできないのはどうしてですか？
そこを明らかにしないと、答だけ教わっても何の解決にもならないのでは？

(2) まずは単振動から。
単振動は小球をつるしたときの静止位置を中心にした運動になります。
上向きを正として、この静止位置からの変位を x とすると、バネの復元力は
　F = -kx
なので、運動方程式は
　ma = -kx
より、単振動の式は
　x = A1*sin(ωt) + A2*cos(ωt) 　　　①
　ω = √(k/m)　　　　　②
となります。

これから、周期は
　T = 2パイ/ω = 2パイ√(m/k)

大学生なら速度を v=dx/dt で求めて x と v の初期条件から定数 A1, A2 を定めて振幅を求めますが、高校生なら「手を放すときの伸び」が振幅になるので
　A = 2xo = 2mg/k
でよいのでしょう。
小球をつるしたときのつり合い長さが xo なので
　mg = k*xo
であることから
　xo = mg/k
を使います。

（注）大学生レベルなら
t=0 のとき x=-2xo=-2mg/k、v=A1*ω*cos(ωt) + A2*ω*sin(ωt) で t=0 のとき v=0 より
　A1 = 0, A2 = -2mg/k
となって
　x = -(2mg/k)*cos(ωt)
　v = (2mg/k)*ω*sin(ωt) = 2g√(m/k) *sin(ωt)
となります。

最大速度も、大学生なら上記の速度からすぐに求められますが、高校生だとエネルギー保存から求めないといけないのでしょう。

お望みのとおり、ばねの自然長を位置エネルギーの基準とすれば
・手を放す位置での小球の位置エネルギー
　Ep1 = -mg(3xo) = -3mg*xo
・手を放すときのばねの弾性エネルギー
　Es1 = (1/2)k(3xo)^2 = (9/2)k(xo)^2
・手を放すときの小球の運動エネルギー
　Ek1 = 0

単振動の速度は、運動の中心位置で最大になるので、「自然長から xo 下」の位置での速度が最大となります。この位置では
・小球の位置エネルギー
　Ep2 = -mg(xo) = -mg*xo
・ばねの弾性エネルギー
　Es1 = (1/2)k(xo)^2
・小球のの運動エネルギー：速度を v として
　Ek2 = (1/2)mv^2

これらの合計が保存されるので
　Ep1 + Es1 + Ek1 = Ep2 + Es2 + Ek2
従って
　-3mg*xo + (9/2)k(xo)^2 + 0 = -mg*xo + (1/2)k(xo)^2 + (1/2)mv^2
→　(1/2)mv^2 = 4k(xo)^2 - 2mg*xo
→　v^2 = (8k/m)(xo)^2 - 4g*xo
→　v = √[(8k/m)(xo)^2 - 4g*xo]　　　　③

これは、
　xo = mg/k
を使って③に代入すると
　v = √[(8k/m)(mg/k)^2 - 4g(mg/k)]
　　= √[4g^2 (m/k)]
　　= 2g√(m/k)
となります。

この回答へのお礼

ありがとうございます
自分でも何回もやってみてどうやっても答えが合わなかったので質問させていただきました

お礼日時：2020/09/26 20:35