4.6.8で割るとあまりはそれぞれ1になり、5で割ると余りが3、7で割ると余りが5、15で割ると余り

4.6.8で割るとあまりはそれぞれ1になり、5で割ると余りが3、7で割ると余りが5、15で割ると余りが13になる3桁の自然数は、全部で何個かを詳しく教えてください。
ちなみに答えは1個です。

No.6 回答者： syotao 回答日時： 2021/08/17 22:13

No.4です。

いえいえ
No3さんの発想で候補をたった5つにしぼれるんですねぇ。
気づきませんでした。
素晴らしいと思います。

No.5 回答者： kairou 回答日時： 2021/08/17 19:07

No3 です。

すみませんでした。
外出する予定の前に 投稿したので、確認が出来ませんでした。
NO4 さんの ご指摘の通りです。ごめんなさい。
答えは 313 しか残りませんね。

そう云えば 中学生の頃から 必要十分条件に 弱かったなあ。

No.4 回答者： syotao 回答日時： 2021/08/17 16:24

No.3さん、

103、523、943は4でわったあまりは1になりません。
また
733は8でわったあまりが1になりません。

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2021/08/17 14:56

「4.6.8で割るとあまりはそれぞれ1になり」→ 3桁の自然数は 奇数。

「5で割ると余りが3、7で割ると余りが5、15で割ると余りが13」→
2 大きければ 5, 7, 15 全てで 割り切れる。
とすると 5, 7, 15 公倍数から 2 を引いた 数字になります。
つまり 5、7、15 の最小公倍数は 105 ですから、
求める数字の 最小は 105－2＝103 。
後は 103 に 105 の偶数倍した数を 足したもの。
つまり、103, 313, 523, 733, 943 の 5個になる筈ですが。

103=5x20+3=7x14+5=15x6+13 。
313=5x62+3=7x44+5=15x20+13 。
523=5x104+3=7x74+5=15x34+13 。
733=5x146+3=7x104+5=15x48+13 。
943=5x188+3=7x134+5=15x62+13 。

答えが 1個と云う事は、他に何か条件は ありませんか。

No.2 回答者： syotao 回答日時： 2021/08/17 13:59

中国剰余定理より条件式のそれぞれの法の最小公倍数840を法

として解はただ１つある。
だから条件式の各法を840にろえればよい：
すると各条件式は
210ｎ≡210（mod840）
140ｎ≡140　（〃）
105ｎ≡105　（〃）
168ｎ≡504　（〃）
120ｎ≡600　（〃）
56ｎ≡728　　(〃）
辺〃くわえて
799ｎ≡2287（mod840）これを解けばよい。
799と840は互いに素だからこの解はただ１つ　313　となる。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/08/17 01:19

連立不定方程式

x ≡ 1 (mod 4),
x ≡ 1 (mod 6),
x ≡ 1 (mod 8),
x ≡ 3 (mod 5),
x ≡ 5 (mod 7),
x ≡ 13 (mod 15).
は、
x ≡ 1 (mod 6)　　⇔　x ≡ 1 (mod 2) ∧ x ≡ 1 (mod 3),
x ≡ 13 (mod 15)　⇔　x ≡ 13 ≡ 1 (mod 3) ∧ x ≡ 13 ≡ 3 (mod 5),
x ≡ 1 (mod 2) ∧ x ≡ 1 (mod 4) ∧ x ≡ 1 (mod 8)　⇔　x ≡ 1 (mod 8).
より
x ≡ 1 (mod 8),
x ≡ 1 (mod 3),
x ≡ 3 ≡ -2 (mod 5),
x ≡ 5 ≡ -2 (mod 7).
と同値。 更に
x ≡ 1 (mod 24),
x ≡ -2 (mod 35).
と整理できる。

x = 1 + 24m = -2 + 35n　←[1]
を満たす m, n を求めればよいので、
35n - 24m = 3 を解く。　←[2]
互除法で
35 = 24・1 + 11,
24 = 11・2 + 2,
11 = 2・5 + 1.
より
1 = 11 - 2・5
　= 11 - (24 - 11・2)・5 = 11・11 - 24・5
　= (35 - 24・1)・11 - 24・5 = 35・11 - 24・16.
両辺を 3倍して、
3 = 35・(11・3) - 24・(16・3) = 35・33 - 24・48.　←[3]
[2] と [3] を辺々引き算して、
35(n - 33) - 24(m - 48) = 0
より
35(n - 33) = 24(m - 48) = (35・24)k　{kは整数}
と置ける。
n = 33 + 24k, m = 48 + 35k と変形して
[1] へ代入すると、
x = 1 + 24(48 + 35k) = 1153 + 840k.
この x が 3桁になるのは、
k = -1 のときの 1 個だけ。　　　答え： 1 個.


中国剰余定理から解が mod 840 で唯一であることを見つけただけでは
答えが 1 個なのか 2 個なのか判断できないから、
ちゃんと解いて上記の 1153 を見つけておく必要がある。