問題. nを自然数とする。 1+1/2+1/3+…+1/n はn→∞のとき発散することを示せ。 この

問題. nを自然数とする。
1+1/2+1/3+…+1/n
はn→∞のとき発散することを示せ。

この問題を以下のように証明してみました。
あっていますか？

証明. 収束するとして極限をαとすると
α
= 1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+…
> 1/2+1/2+1/4+1/4+1/6+1/6+…
= 1+1/2+1/3+…
= α
となり矛盾。

No.21 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2021/08/30 21:41

なるほど、

問題の級数の収束性の仮定から出発すると
No.18さんの回答のａ＜ｂとそのお礼のコメント欄のａ≧ｂ
が同時に出てくる。この2つの推論はどちらも正しくて
だからもとの級数は発散と結論してもよいわけだ。

この回答へのお礼

そんなに難しく考える必要はないと思います。
ただα>αというだけのことです。

お礼日時：2021/09/02 20:20

No.22 回答者： syotao 回答日時： 2021/09/02 21:25

＜ただα>αというだけのことです。

＞
それもそのとおり、
No.18さんのもそのとおりで
いろんな矛盾が出てきておもしろかった。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2022/07/01 17:31

No.20 回答者： トモクンアヤチャン 回答日時： 2021/08/29 18:35

調和級数というものに似ていますね（同じかな）。

https://manabitimes.jp/math/627
wikiにもありました。
証明1が似ていますんで、そうなんでしょうが・・・すみません。

この回答へのお礼

そこに載っていない証明は間違っている、ということにはなりませんよ？

お礼日時：2021/08/29 19:36

No.19 回答者： トモクンアヤチャン 回答日時： 2021/08/29 18:03

a . . . b

1/2≧1/2
1/3≧1/4
1/4≧1/4
1/5≧1/6
1/6≧1/6
1/7≧1/8
1/8≧1/8
1/9≧1/10
…≧…
を辺々足すと
a≧b
となりますが、
a . . . b
1/2=1/2
　　 1/2（1/4+1/4)
1/3=1/3
1/4=1/4
1/5=1/5
1/6=1/6
1/7=1/7
1/8=1/8
1/9=1/9
を辺々足すと
a = b -1/2
となりますので、a<bです。
ｂ側を小さく小分けして小さく見せているだけのように見えますが、そういうのは数学的にはＯＫなんでしょうか。
例えば、
x=1/2+1/4+1/8+1/16.....は1に収束しそうですが、
y=1/2+1/8+1/8+1/16+1/16.....は1に収束しないのでしょうか。
xがy追いつくかどうかは、どこまで計算するかであって、x<yではないような気がします（小分けして小さく見せている）。
計算してみました。
n= 1 ,sigma= 1.000000
n= 2 ,sigma= 1.500000
n= 3 ,sigma= 1.833333
n= 4 ,sigma= 2.083333
n= 5 ,sigma= 2.283333
n= 6 ,sigma= 2.450000
n= 7 ,sigma= 2.592857
n= 8 ,sigma= 2.717857
n= 9 ,sigma= 2.828968
n= 10 ,sigma= 2.928968
n= 1000000000 ,sigma= 21.300482
n= 2000000000 ,sigma= 21.993629
n= 3000000000 ,sigma= 22.399094
n= 4000000000 ,sigma= 22.686776
n= 5000000000 ,sigma= 22.909919
n= 6000000000 ,sigma= 23.092241
n= 7000000000 ,sigma= 23.246392
n= 8000000000 ,sigma= 23.379923
n= 9000000000 ,sigma= 23.497706
n= 10000000000 ,sigma= 23.603067
n= 20000000000 ,sigma= 24.296214
n= 30000000000 ,sigma= 24.701679
n= 40000000000 ,sigma= 24.989361
n= 50000000000 ,sigma= 25.212505
n= 60000000000 ,sigma= 25.394826
n= 70000000000 ,sigma= 25.548977
n= 80000000000 ,sigma= 25.682508
n= 90000000000 ,sigma= 25.800291
n= 100000000000 ,sigma= 25.905652
n= 200000000000 ,sigma= 26.598799
なんだか収束しそうにも見えますが、増え方が減りますが増え方の減り方が小さくなっているようです。
増え方の減り方が収束するなら増え方は収束しないとは思いますが。
すみません。面倒なら無視してください。

この回答へのお礼

>例えば、
>x=1/2+1/4+1/8+1/16.....は1に収束しそうですが、
>y=1/2+1/8+1/8+1/16+1/16.....は1に収束しないのでしょうか。

xの各項とyの各項を比較すると
1/2≧1/2
1/4≧1/8
1/8≧1/8
1/16≧1/16
1/32≦1/16
…
となり5項目で大小関係が逆になるので反例になっていないのでは？

ものすごく誤解されていらっしゃるかもしれませんが、私は収束しないことを示そうとしているので、収束しなさそうとおっしゃられても、そりゃそうだろとしか言えないのですが…。

お礼日時：2021/08/29 18:44

No.18 回答者： トモクンアヤチャン 回答日時： 2021/08/29 16:38

難しくてわかんないんですが、質問です。

a[1] = 1
a = 1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+…
b[1]= 1/2
b = 1/2+1/4+1/4+1/6+1/6+…
の場合に、
実数a[1],a,b[1],bについて
a[1]>b[1] かつ a≧b
ならば
a[1]+a>b[1]+b
とのことですが、
b = 1/2+(1/4+1/4)+(1/6+1/6)+…
＝　1/2+ 1/2　 + 1/3 +…だから
a<b ではないんでしょうか。

この回答へのお礼

1/2≧1/2
1/3≧1/4
1/4≧1/4
1/5≧1/6
1/6≧1/6
1/7≧1/8
1/8≧1/8
1/9≧1/10
…≧…
を辺々足すと
a≧b
となります。

お礼日時：2021/08/29 16:57

No.17 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/08/29 13:18

いや、aが発散するという思い込みにとらわれてしまった。

aは収束するからほぼ自由に演算できる。

この回答へのお礼

そういうことですよね。

ありがとうございます。

お礼日時：2021/08/29 16:51

No.16 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/08/29 11:47

＞ a[1] = 1

＞ a = 1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+…
＞ b[1]= 1/2
＞ b = 1/2+1/4+1/4+1/6+1/6+…

それは、
　1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+…
　> 1/2+1/2+1/4+1/4+1/6+1/6+…
の根拠にはならない。
数学的帰納法を使っても、有限和についてしか > は示せない。
項数を無限にしたときに、No.6 の理由で ≧ になってしまうから。

そうじゃない、他の根拠で件の不等式が示せるんだと言うのなら
その根拠を書かなければ、証明になっていない。
できるのなら、やってごらん。示しもせずに言い張るだけじゃなくてね。


←No.15
GJ.
もう、それしかないのかもしれない。
つける薬がない感じがする。

この回答へのお礼

ないわw

実数a[1],a,b[1],bについて
a[1]>b[1] かつ a≧b
ならば
a[1]+a>b[1]+b
が成り立つことが理解できないのですね？

お礼日時：2021/08/29 16:47

No.15 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/08/29 10:04

なるほど、あなたが正しいようです。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2022/07/01 17:29

No.14 回答者： usagiop 回答日時： 2021/08/29 07:12

>他のトンデモ回答者にむけてなぜ以下が言えるのか説明して差し上げては？

全ての n=1,2,... に対して b_n≦a_n なわけです
とくに n=2,3,... での和が ∑_[n≧2]b_n ≦ ∑_[n≧2]a_n < ∞
b_1=1/2 < 1=a_1なので
∑_[n≧1]b_n
= b_1 + ∑_[n≧2]b_n
< a_1 + ∑_[n≧2]b_n
≦ a_1 + ∑_[n≧2]a_n
≦ ∑_[n≧1]a_n

この回答へのお礼

No.1とNo.12に私が既にコメントしたことと同じですね。

お礼日時：2021/08/29 17:01

No.13 回答者： usagiop 回答日時： 2021/08/29 06:36

基本的にはあってますが書き方が曖昧なので証明としては不完全です

a_n=1/n としたときに α=∑a_n < ∞ だと仮定します
b_{2k-1}=b_{2k}=1/(2k) としたら b_n≦a_n なので ∑b_n ≦ ∑a_n < ∞
さらに b_{2k-1}<a_{2k-1} なので ∑b_n < ∑a_n
他方で、 b_{2k-1} + b_{2k} = a_k の両辺を k=1,2,... と足し合わせると ∑b_n = ∑a_n
これが矛盾です

この回答へのお礼

こんなこと私に言われても困ります。

他のトンデモ回答者にむけてなぜ以下が言えるのか説明して差し上げては？

>さらに b_{2k-1}<a_{2k-1} なので
>∑b_n < ∑a_n

お礼日時：2021/08/29 06:53