微積の問題

微積の問題です。

関数f(x,y)=sin x +sin y -sin (x+y)を領域D={(x,y)|0<x<π,0<y<π}において考える。以下の問いに答えよ。

(1)fz=(x,y)=fy(x,y)=0となる点(x,y)∈Dは(x,y)=(2π/3,2π/3)に限ることを示す。

(2)f(x,y)は点(x,y)=(2π/3,2π/3)において最大値をとることを示せ。

(3)(2)で求めた最大値はDにその境界を加えてできる有界閉集合D:={(x,y)|0<x<π,0<y<π}におけるf(x,y)の最大値となることを示せ。

です。お願いします。

((3)のDは上に-このような線が付いていて、<は全て下に_が付いています。)

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/11/12 22:59

(1)

　fx=cosx-cos(x+y)=2sin(x+y/2)sin(y/2)
　fy=cosy-cos(x+y)=2sin(x/2+y)sin(x/2)
fx=0 は
　x+y/2=nπ or y/2=n'π (x,y>0だから、n,n'≧1)
fy=0 は
　x/2+y=mπ or x/2=m'π (x,y>0だから、m,m'≧1)

このとき、x,y<πだから
　y/2=n'π, x/2=m'π → y=2n'π>π、x=2m'π>π
となって、条件を満たさず
　x+y/2=nπ かつ x/2+y=mπ
のみとなる。条件から
　x+y/2, x/2+y<3π/2 → n, m≦3/2 → n,m=1
すると
　x=y=2π/3
をえる。


(2)
x=y=2π/3 のとき
　fxx=-sinx+sin(x+y)=-1/2+(-1/2)=-1 < 0
　fyy=-siny+sin(x+y)=-1/2+(-1/2)=-1
　fxy=sin(x+y)=-1/2
　Δ=fxxfyy-fxy²=1-1/4 > 0
となり、判別式から、極大となる。


(3)
　f(2π/3,2π/3)=2(√3)/2-((√3)/2)=3(√3)/2・・・・①

　f(0,y)=siny-siny=0
　f(x,0)=sinx-sinx=0
　f(π,y)=siny-sin(π+y)=2siny・・・・②
　f(x,π)=sinx-sin(x+π)=2sinx・・・・③

したがって、②③の最大値は２だから①がDバー（Ｄの閉包）の最大値
となる。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/11/13 10:43

fz？