線形代数 正測行列と転置行列

正則な 2 次行列 M に対し, |M^−1| = |M|^−1 が成り立つことを証明せよ。
この問題の解説を教えてください。
よろしくお願いいたします。

No.1 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/12/04 07:02

線型代数の場合、使える定理によって証明の範囲が異なります。

det(AB)=det(A)det(B)を使って良いなら

det(M^(-1))det(M)=det(E)=1
で瞬殺だけど

ここにdet(AB)=det(A)det(B)の証明を行列式の
基礎的な性質の証明から始めると、
結構トンデモない量になる。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

お礼日時：2021/12/16 08:27

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/12/04 10:43

M

=
(a,b)
(c,d)

|M|=ad-bc≠0

A
=
(d/(ad-bc),-b/(ad-bc))
(-c/(ad-bc),a/(ad-bc))

とすると

AM
=
(d/(ad-bc),-b/(ad-bc))(a,b)
(-c/(ad-bc),a/(ad-bc))(c,d)
=
(1,0)
(0,1)

だから

M^(-1)=A

だから

|M^(-1)|
=
|d/(ad-bc),-b/(ad-bc)|
|-c/(ad-bc),a/(ad-bc)|

=(ad-bc)/(ad-bc)^2
=1/(ad-bc)
=1/|M|

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

お礼日時：2021/12/16 08:27

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/12/04 14:53

ああ、2次限定でしたね

任意の2x2行列A、Bで
A=
a b
c d
B=
p q
r s
AB=
ap+br aq+bs
cp+dr cq+ds

det(AB)=(ap+br)(cq+ds)-(aq+bs)(cp+dr)
=apds+brcq -aqdr-bscp
det(A)det(B)=(ad-bc)(ps-qr)=adps-adqr-bcps+bcqr

よって任意の2x2行列で det(AB)=det(A)det(B)

MM^(-1)=E(単位行列なので
det(M)det(MM^(-1))=det(E)=1 (証明終)

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

お礼日時：2021/12/16 08:27

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/12/06 12:08

>det(M)det(MM^(-1))=det(E)=1 (証明終)

修正
det(M)det(M^(-1))=det(E)=1 (証明終)

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

お礼日時：2021/12/16 08:27