極限の問題です。

極限の問題です。

1/√e、、、でいいんでしょうか？

-ｘ/2を1/ｔとおくと場合わけがないと不正解だといわれ間違いになっているのですが

この場合どういう風に書けばいいんでしょうか？

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/05/07 19:29

lim[x:実数→±∞] (1+1/x)^x = e であることはよく知られているので、

場合分けは特に必要ない気もするのだけれど...
ひょっとして、その教科書は
lim[n:自然数→∞] (1+1/n)^n = e を e の定義とする流儀なのだろうか。
だとすると、 x の正負以前に
lim[x:実数→+∞] (1+1/x)^x = e にも証明が必要なように思うが。
そこはツッコまれないの？

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/05/07 16:56

x<0 の時

-x/2=1/t
とおくと

lim_{x→-0}(1-x/2)^(1/x)
=lim_{t→∞}(1+1/t)^(-t/2)
=lim_{t→∞}{(1+1/t)^t}^(-1/2)
=1/√e

x>0 の時
x/2=1/(1+s)
とおくと

lim_{x→+0}(1-x/2)^(1/x)
=lim_{s→∞}{1-1/(s+1)}^{(1+s)/2}
=lim_{s→∞}{s/(s+1)}^{(1+s)/2}
=lim_{s→∞}{1/(1+1/s)}^{(1+s)/2}
=lim_{s→∞}1/{(1+1/s)^(1+s)}^(1/2)
=lim_{s→∞}1/{(1+1/s)(1+1/s)^s}^(1/2)
=1/√e

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/05/07 09:14

(1-x/2)^(1/x)={(1-x/2)^(-2/x)}^(-1/2)

u=-x/2 とおくと u → 0
{(1+u)^u}^(-1/2) → e^(-1/2)
となる。