17を法とするとき、全ての整数は-16から0までの整数と合同になる。このとき…… (1)3^4≡am

17を法とするとき、全ての整数は-16から0までの整数と合同になる。このとき……
(1)3^4≡amod17
a=-13 ←合ってますか？
(2)3^8≡a mod17
(3)3^16≡a mod17

問２と３が分かりません。
ご教授願います。。。

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/07/19 15:51

(1)

3^2=9 mod17
3^3=27=27-17=10 mod17
3^4=30=30-17=13=13-17=-4 mod17
(2)
3^8=(3^4)^2=(-4)^2=16=16-17=-1 mod17
(3)
3^16=(3^8)^2=(-1)^2=1=1-17=-16 mod17

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/07/19 14:18

普通に 0〜16 で考えてから 17 引けばいいじゃん。

そのほうが凡ミスが少ないでしょ。
(1) a ≡ 3^4 = 9^2 = 81 = 17×4+13 ≡ 13 ≡ 13-17 = -4 (mod 17).
(2) a ≡ 3^8 = (3^4)^2 ≡ (-4)^2 = 16 ≡ 16-17 = -1 (mod 17).
(3) a ≡ 3^16 = (3^8)^2 ≡ (-1)^2 = 1 (mod 17).

(3) はフェルマーの小定理だよね。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/07/19 09:17

合っていない

a=-13ではありません
13-(-13)=26は17の倍数ではないから
13と-13は合同ではありません

17=0mod17
↓両辺から1を引くと
16=-1mod17
↓両辺から1を引くと
15=-2mod17
↓両辺から1を引くと
14=-3mod17
↓両辺から1を引くと
13=-4mod17
∴
a=-4

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/07/19 01:56

(1) 合ってない. どうしてそうなった?

(2), (3) どこがわからない?