極限の計算をお願いします。 ｛log(2x+3)｝/｛log(3x+1)｝ のx→∞の極限値の求め方

極限の計算をお願いします。
｛log(2x+3)｝/｛log(3x+1)｝
のx→∞の極限値の求め方を教えてください。
ロピタルの定理を使わずにお願いします

No.3 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/07 21:30

任意のε>0に対して

K>e^(1+1/ε) となるKが存在する
x>Kとなる任意のxに対して
2<e<e^(1+1/ε)<K<x…(1)
e<3
↓両辺に正数xをかけると
ex<3x<3x+1
↓3x<3x+1だから
ex<3x+1
↓両辺を正数eで割ると
x<(3x+1)/e
↓これと(1)から
e^(1+1/ε)<(3x+1)/e…(2)
2<e
↓両辺に2をかけると
4<2e
↓3<4だから
3<2e
↓両辺に正数xをかけると
3x<2ex
↓1<3eを加えると
3x+1<2ex+3e
↓両辺を正数eで割ると
(3x+1)/e<2x+3
↓これと(2)から
e^(1+1/ε)<(3x+1)/e<2x+3…(3)
(1)からx>2だから
3x+1-(2x+3)=x-2>0
だから
2x+3<3x+1
↓これと(3)から
e^(1+1/ε)<(3x+1)/e<2x+3<3x+1
↓各辺のlogをとると
1+1/ε<log((3x+1)/e)<log(2x+3)<log(3x+1)…(4)
↓log{(3x+1)/e}=log(3x+1)-1だから
log(3x+1)-1<log(2x+3)<log(3x+1)
↓各辺を正数log(3x+1)で割ると
{log(3x+1)-1}/log(3x+1)<log(2x+3)/log(3x+1)<1…(5)
↓{log(3x+1)-1}/log(3x+1)=1-1/log(3x+1)だから
1-1/log(3x+1)<log(2x+3)/log(3x+1)
↓両辺に1/log(3x+1)-log(2x+3)/log(3x+1)を加えると
1-log(2x+3)/log(3x+1)<1/log(3x+1)…(6)
(5)から
log(2x+3)/log(3x+1)<1
↓両辺に-log(2x+3)/log(3x+1)を加えると
0<1-log(2x+3)/log(3x+1)
↓これと(6)から
0<1-log(2x+3)/log(3x+1)<1/log(3x+1)…(7)
(4)から
1/ε<log(3x+1)
↓両辺に正数ε/log(3x+1)をかけると
1/log(3x+1)<ε
↓これと(7)から
0<1-log(2x+3)/log(3x+1)<ε
∴
|1-log(2x+3)/log(3x+1)|<ε
∴
lim_{x→∞}log(2x+3)/log(3x+1)=1

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/08/04 03:42

十分大きな x に対し

2x+(2/3) < 2x+3 < 3x+1
から対数をとって x→∞.

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/08/03 21:05

ロピタルから

　2/(2x+3)・1/{3/(3x+1)}=(x+1/3)/(x+3/2) → 1