適合性の検定の同等性の検定

多数試行してさいころが平等であることを示したく思っています。
普通の適合性の検定では期待度数と異なることは積極的に示せると思いますが、
反対に期待度数からの偏りが一定範囲にあることを積極的に示せないか考えています。
平均値を検定する場合には同等性の検定なる考え方もあるようですが、適合性の検定の場合にはどのように適用するとよいでしょうか。適合性の検定にこだわっているわけではないので、別法でも構いません。

質問者からの補足コメント

• 誤字ありました。
  ×適合性の検定にこだわっているわけではないので、別法でも構いません。
  ○同等性の検定に～

    補足日時：2022/09/24 00:38

No.15 回答者： qas2021 回答日時： 2022/10/09 20:27

> 5つの目について証明すれば、６個目の値は決まってしまうんだが、それでも６つの目全てについて検定しろと言うのですか？

５つの目について目標とする一定範囲内にあることを示すことで、全ての目について目標とする一定範囲内にあることを示すことができれば、6つ目は検定しなくてもいいですが、しないと示すことはできないでしょう。

No.14 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/10/09 18:53

5つの目について証明すれば、６個目の値は決まってしまうんだが、それでも６つの目全てについて検定しろと言うのですか？

No.13 回答者： qas2021 回答日時： 2022/10/03 20:46

サイコロの目が1から6になる確率が1になることは、検定を行う行わないに関わらず成り立ちます。

（または、成り立つと仮定している）
だから、No.5 の検定で十分なのです。

> 超平面上の点でないケースが存在してしまいます。
> 例えば、全ての目が1/6より少し多めに出ることを許容してしまいます。
> それはあり得ません

あり得ないことなので、そのようなケースは存在しませんし、許容もしていません。
私は、そんなあり得ないケースについてどうなるか何もいっていません。

「公平なサイコロのそれぞれの目がでる確率は 1/6-d から 1.6+d の範囲内にある（d > 0）」は真であることは理解されていますか？

No.12 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/09/30 20:53

はい。

そういう線形制約を入れて発生確率の存在範囲を証明するのであれば良いです。つまり、それは超平面を満たす解となります。

一方、N0.5で述べられた『6つの目の一つに絞って、有意水準αで母比率の同等性の検定をすることはできるので、それを6つの目全て対して行い、全ての検定で母比率が1/6からある一定範囲内にあることが言えればいい。』は、間違いです。

超平面上の点でないケースが存在してしまいます。

例えば、全ての目が1/6より少し多めに出ることを許容してしまいます。

それはあり得ません。

No.11 回答者： qas2021 回答日時： 2022/09/30 18:11

No.10さん

> 「全ての出目の確率の総和が１」という線形制約、つまり、gas2021さんの条件ですと、

Σdi＝0

という条件が必要なんですよ。

そうですね。
ですから、私はNo.9で

> 私はそのような事象は考えていなかったので、当然1から6のどれかがでる確率は1と考えていました。

と記載したのです。

サイコロの1から6の目のでる確率がそれぞれ [1/6-d, 1.6+d] の範囲内というのは、サイコロの1から6の目のいずれかがでる確率が1であることを否定するものではありません。

1/6-d ≦ P(X = x) ≦ 1.6+d
Σ_{x = 1 to 6) P(X = x) = 1

を満たす範囲であるということです。

No.10 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/09/30 13:21

gas2021さんへ、

それぞれ [1/6-d, 1.6+d] の範囲内であるということですが・・・、

全ての目が自由に発生して、それらの確率が例えば全て1/6＋0.01 だったということは起こり得ません。

つまり、「全ての出目の確率の総和が１」という線形制約、つまり、gas2021さんの条件ですと、

Σdi＝0

という条件が必要なんですよ。

No.9 回答者： qas2021 回答日時： 2022/09/30 05:24

> 合計が1になる条件を外しているので、No4さんのおっしゃる平面からははずれてしまうことになるのですね。

えっと、貴方はサイコロの1から6の目のでる確率がそれぞれ [1/6-d, 1.6+d] の範囲内であるとわかったとき、1から6のどれかがでる確率は1以外に成り得ると考えているのでしょうか。

1未満なら、「1から6のどれかの目がでる」以外の事象があるということですね
（例えば、奇跡的にサイコロの辺又は頂点で立った状態とかでしょうか）

私はそのような事象は考えていなかったので、当然1から6のどれかがでる確率は1と考えていました。

No.8 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/09/27 02:28

既にどこかに書いてあるかもしれませんが・・・、

サイコロは、今見ている面と反対側の面とで、目の和が常に７になるように作られていると思います。

すると、「６つの目の出現比率」で考える必要はなく、１，２，３の目で出現比率の均等性を立証できれば反対側も立証できたと言って良いのではないでしょうか。

そうであれば、前述の３面サイコロの正しさの証明（３次元空間）で済みます。

↑思い付きなので、確証はありませんが、一気に簡単になります！

No.7 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/09/25 10:53

ディスクレパンシーについての補足です。

Measures of Uniformity Discrepancy で検索してみて下さい。

ディスクレパンシーの値は、Rのライブラリ kernlab の kmmd 関数で計算できます。

例えば、10000回の観測であれば、100×100ピクセルの二値画像が、１の目から６の目について６枚生成されるので、各々についてディスクレパンシーを求めます。

それらが許容値内であるかどうかを確認すれば、そのサイコロの無秩序性は保証できると思います。

No.6 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/09/25 00:30

gas2021さんの方法だと、６つの目の確率の合計が１となる保証がないです。

この回答へのお礼

そのようですね。
ありがとうございます。
お礼が遅くなっており恐れ入ります。

お礼日時：2022/09/29 23:48