適合性の検定の同等性の検定

多数試行してさいころが平等であることを示したく思っています。
普通の適合性の検定では期待度数と異なることは積極的に示せると思いますが、
反対に期待度数からの偏りが一定範囲にあることを積極的に示せないか考えています。
平均値を検定する場合には同等性の検定なる考え方もあるようですが、適合性の検定の場合にはどのように適用するとよいでしょうか。適合性の検定にこだわっているわけではないので、別法でも構いません。

質問者からの補足コメント

• 誤字ありました。
  ×適合性の検定にこだわっているわけではないので、別法でも構いません。
  ○同等性の検定に～

    補足日時：2022/09/24 00:38

No.1 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/09/24 01:20

出目の割合は「過度の一致」になり使えません。

「出目のパターン」を調べる必要があります。

そもそも、ピアソンの適合度検定は両側検定で、下側は「過度の一致」として棄却されます。

メンデルの遺伝の実験は捏造であった、というのは有名で、これはピアソンの適合度検定で過度の一致とみなされるからです。

つまり、同等性の検定を行おうにも、積極的に否定したい帰無仮説が作れません。

同様に、サイコロの公平性の証明ですが、古典統計では不可能だと考えられています↓。

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/497559.html

しかし、最近は一様性に関して研究が進んでおり、厳密な一様乱数（フォーレ列など）の生成も可能です。

ご質問者がおっしゃるように多数試行（数万回）行えば、出目の割合ではなく、出現パターンについて、一様乱数との一致度（ディスクレパンシー）を見ることで、公平性を確認することは可能だと思います。

この回答へのお礼

早速のご返答ありがとうございます。

出目の出現割合より踏み込んで出現パターンまで検証する必要がある点は理解いたしました。

しかしながら適合度検定では片側で実施している例が多いように見受けられます。
https://bellcurve.jp/statistics/course/9494.html

このリンク先のように過度の一致を棄却域に設定しない（上側のみで片側検定の）場合、
（かつ、敢えて議論のために出現パターンについては棚上げにするとすれば）
積極的に否定する帰無仮説を設定し同等性の検定を行う余地がある、ということになるでしょうか。

まあそうだとしても、出現割合において、平均値の同等性の検定のように許容できる区間に上下から挟み撃ちで絞り込むイメージが私には掴めませんが‥。

お礼日時：2022/09/24 11:51

No.2 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/09/24 01:42

もう少し簡単に言うと、

コインを100回投げて集計したら、表50回裏50回だったから正常だと言えるか、という問題において、

もし、最初連続50回表が出て、後半はずっと裏が出続けた、という結果だったら明らかに異常ですよね。というかそんなことが生起する確率は極めて低いです。

裏表の出方は無秩序であるべきです。

同様に、サイコロを振り続けて、出目の並びが、無秩序であることが言えれば良い、と考えられます。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
ディスクレパンシーが許容範囲内であればよいということですね。

お礼日時：2022/09/25 01:28

No.3 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/09/24 06:00

#1です。

リンク先のベストアンサー、panchoさんの回答は間違いですね。この人、確率質量のことを知らないみたいです。

リンク張った私のミスです。すみません。

要は、こうありたい、と考えたことが、実は極めて異常なことだ、という矛盾が生じるために、古典論では証明が無理、ということなんですが、ベストアンサーはそれを言っていないです。

つまり各目が1/6ずつ出現することは、古典論では異常とみなされてしまうということなんですが、良く読んだら違うことを書いていました。

ベストアンサーだから良いだろうと早とちりしました。

もっと、良い例を探してみます。

この回答へのお礼

ミスなどとはとんでもない、
ありがとうございます。助かります。

お礼日時：2022/09/25 01:29

No.4 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/09/24 14:02

＞ 許容できる区間に上下から挟み撃ちで絞り込む・・・

カイ２乗検定は、カール・ピアソンが度数の検定用に修正する前の形はユークリッド距離ですから、正負の考慮ができなくなっています。だから挟み撃ちはできません。

この話はこちらから↓。

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/12832036.html

＞ イメージが私には掴めませんが・・・

挟み撃ちは出来ると思いますが、その場合は、２乗せず、例えば1/6の前後に確率幅を設け、6次元空間で挟み撃ちをやる必要があります。

６次元？と思われるかもしれません。これはイメージできないので、３面サイコロで説明します。

添付図は、３面サイコロの出目の確率分布です。３次元の各軸の１の値を結んだ正三角形の面内の濃淡密度になります。こうすれば、確率の合計は常に１になります。

これをディリクレ分布と言います。

正しさの証明は、この正三角形の重心の近傍に、正しいとしても良い範囲を設け、挟み撃ちのように帰無仮説を否定します。（正しいとする範囲は、簡単のために６角形くらいで良いでしょう。ただし６回の多重比較になるので注意が必要です。）

さて、６つの目のあるサイコロは６次元空間中の超平面になりますので、非常に難しいと思います。

ご健闘を祈ります。

この回答へのお礼

イメージが掴めました。
6次元だと難解になることを含めて‥。

お礼日時：2022/09/25 01:31

No.5 回答者： qas2021 回答日時： 2022/09/24 21:00

6つの目の一つに絞って、有意水準αで母比率の同等性の検定をすることはできますよね。

それを6つの目全て対して行い、全ての検定で母比率が1/6からある一定範囲内にあることが言えればいい。

ただ、この方法だと第一種の過誤の確率がαよりかなり小さくなるとは思いますが。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
確かに、と思いましたが、合計が1になる条件を外しているので、No4さんのおっしゃる平面からははずれてしまうことになるのですね。
しかしながらお答えくださりありがとうございました。

お礼日時：2022/09/29 23:41

No.6 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/09/25 00:30

gas2021さんの方法だと、６つの目の確率の合計が１となる保証がないです。

この回答へのお礼

そのようですね。
ありがとうございます。
お礼が遅くなっており恐れ入ります。

お礼日時：2022/09/29 23:48

No.7 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/09/25 10:53

ディスクレパンシーについての補足です。

Measures of Uniformity Discrepancy で検索してみて下さい。

ディスクレパンシーの値は、Rのライブラリ kernlab の kmmd 関数で計算できます。

例えば、10000回の観測であれば、100×100ピクセルの二値画像が、１の目から６の目について６枚生成されるので、各々についてディスクレパンシーを求めます。

それらが許容値内であるかどうかを確認すれば、そのサイコロの無秩序性は保証できると思います。

No.8 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/09/27 02:28

既にどこかに書いてあるかもしれませんが・・・、

サイコロは、今見ている面と反対側の面とで、目の和が常に７になるように作られていると思います。

すると、「６つの目の出現比率」で考える必要はなく、１，２，３の目で出現比率の均等性を立証できれば反対側も立証できたと言って良いのではないでしょうか。

そうであれば、前述の３面サイコロの正しさの証明（３次元空間）で済みます。

↑思い付きなので、確証はありませんが、一気に簡単になります！

No.9 回答者： qas2021 回答日時： 2022/09/30 05:24

> 合計が1になる条件を外しているので、No4さんのおっしゃる平面からははずれてしまうことになるのですね。

えっと、貴方はサイコロの1から6の目のでる確率がそれぞれ [1/6-d, 1.6+d] の範囲内であるとわかったとき、1から6のどれかがでる確率は1以外に成り得ると考えているのでしょうか。

1未満なら、「1から6のどれかの目がでる」以外の事象があるということですね
（例えば、奇跡的にサイコロの辺又は頂点で立った状態とかでしょうか）

私はそのような事象は考えていなかったので、当然1から6のどれかがでる確率は1と考えていました。

No.10 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/09/30 13:21

gas2021さんへ、

それぞれ [1/6-d, 1.6+d] の範囲内であるということですが・・・、

全ての目が自由に発生して、それらの確率が例えば全て1/6＋0.01 だったということは起こり得ません。

つまり、「全ての出目の確率の総和が１」という線形制約、つまり、gas2021さんの条件ですと、

Σdi＝0

という条件が必要なんですよ。