１＋１ とは？ 数とは何か？

若い頃、数学の教師に１＋１は何故２なのか、と質問をしたことがあります。
そのときの答えは、「何でもいいんだよ」の一言でしたが何となく納得していました。
でも、１＋１が２であることは集合論から導き出された結果だと思うのですが、人間がこの１として認識する判断基準はどこからきているのか、考えているうちに判らなくなりました。
何故人は、異なるものを数として認識するのでしょうか。
何故、異なるものの足し算が出来るのでしょうか？

異なるものとは、
男１＋女１＝2人　　大人＋子供＝2人　花のコップ＋お皿＝２つ
たぬき１＋きりん１＝2匹　などです

No.1 回答者： a-kuma 回答日時： 2001/09/10 14:22

数学面からの回答ではないですが、

> 何故、異なるものの足し算が出来るのでしょうか？

それは、異なるものである、とは思っていないから、ではないでしょうか。

ものの見方には、共通化・汎用化という面があります。

男・女 → 大人
大人・子供 → 人間
花のコップ・お皿 → 容器
たぬき・きりん → 哺乳類

場面によって、どこまで汎用化するかが変わってきます。さすがに同じ１でも
紙１(枚)＋水１(リットル）＝２ とは思わないですよね。

同じものであれば、二つを足すことに関しては、疑問が無いのですよね？

この回答へのお礼

回答していただきありがとう御座います。
物の見方によって導き出す、集合という概念が共通化・汎用化に結びついているという意見には賛同できます。
＞さすがに同じ１でも
＞紙１(枚)＋水１(リットル）＝２ とは思わないですよね。
そうでしょうか？　もし「机の上に」との説明がつけば、机上にある物としての括りになるわけですから、その場合は２になります。
ごめんなさい屁理屈みたいで、でも私が知りたいのはそこのところなのです。

お礼日時：2001/09/10 14:33

No.2 回答者： 134 回答日時： 2001/09/10 14:31

１＋１＝２　は　なぜそうなるのか・・・そう定義したから　でしょうね。

山という字が目の前にそびえる大きい地形を意味するのと　同じだと思います。

　異なるもの…
　たとえば、猟をしていて、獲物が５体とれたとします。あくまで目的は食料とするわけですから、内訳がなんだろうと構わないわけなんじゃないですかね。
　でも、動物園みたいにきちんと管理しているところだと、内訳は狸２匹に、狐３匹というように、内訳の方が重要になる。

　映画だと料金体系から性別はあまり重要でなく、子供・大人ごと何人。でも、合コンなどでは、男女何人ずつ。

　要するに使用する目的により、使い分けしている…ということだと思いますが。

この回答へのお礼

回答いただきありがとう御座います。
＞そう定義したから　
難しいお答えですね。このことについて少し考えてみます。
得たい結果を導き出すための設問と言う事なのでしょうか。

お礼日時：2001/09/10 14:46

No.3 回答者： cse_ri 回答日時： 2001/09/10 15:16

１＋１がなぜ２になるかの回答ですが、１０進法で数えているから

というのが私なりの結論です。

１０進法の世界では、
　１に１を加えると２になる
　２に１を加えると３になる
　３に１を加えると４になる
　....
　９に１を加えると桁上がりして１０になる
という考え方をします。


では１＋１が２にならないことはあるかと言えば、実はあります。
ブール代数(２進数)の世界では１＋１は２にならず、１０になります。

ブール代数では、
　０＋０　＝　０
　０＋１　＝　１
　１＋１　＝　１０
という感じですね。


元々、数学というのは観念の世界です。「これが１だ」という観念を定義した
ところから、数学的な思考が始まります。
何を１として認識するかの基準は、もはや数学を超え、哲学の分野になってしまう
のではないかと、私は考えています。

この回答へのお礼

回答いただきありがとう御座います。
＞何を１として認識するかの基準は、もはや数学を超え、哲学の分野になってしまうのではないかと、私は考えています。
まさにそうなのです。そこのところを考えているうちに、訳がわからなくなってしまって。単純ゆえに難しいということなのでしょうか。

お礼日時：2001/09/10 16:03

No.4 回答者： dyadics13 回答日時： 2001/09/10 15:25

"1"というのは端的に言えば「単位」です。

つまり基準となる量を意味する概念です。
ですから、厳密に量として１である必要はないのです。

200mlの水が入ったコップ１杯あったとすると、
"ml"という単位では200でも「杯」とみなしたら１になりますよね。

また、何をその「基準」にするかは主観によるでしょう。
具体適例はこれまで回答された方々の通りです。

人類という「基準」ならば、大人１人と子供１人は
それぞれ１ずつですから、合計２になりますが、
成人という「基準」からすると子供１人は対象外になり
足し合わせることができなくなります。

目的に合った「基準」による「単位」を作り、
その範疇で（整数の）四則演算を行うわけです。

このような考え方だと、テーブルの上の紙１枚と
水１リットル入り容器もそれぞれ「１」とみなせますよね。

この回答へのお礼

回答していただきありがとう御座います。
基準をどこに置くかによって決定される訳ですね。観点をどこに置くかが計算の基準となるということで考えればよいのでしょうか。

お礼日時：2001/09/10 16:08

No.5 回答者： noribou11 回答日時： 2001/09/10 15:44

数とは何か

哲学的な質問なので、これだという回答は難しいかもしれませんね。
１＋１＝２は算術のことであり、算術には数と値が存在します。
そして、数と値は違うということですね。

人は数を認識できるのは、それが独立した形状であるからです。
猫と犬だって個々が独立したものだからです。したがって種類や大きさに
とらわれず、ただの物体と認識できるから足し算が可能なんですね。

では、独立していないものとはなにか、
例えば、一つのおにぎりと一人の人間、この人がおにぎりを食べたらどうなるか、
別にどうにもなりません。一人の人間のお腹が満足するだけです。
つまり、１＋１＝１（人）になってしまいます。すなわち、
食後のおにぎりは人間の体内に吸収されているから、数としては
認識されなくなります。水だって同じことです。500mlのジュースを
1.5lのペットボトルに入れたらどうなるか、1.5lのジュースが一本になるだけです。
つまり１＋１＋１＝１（本）

しかしながら、値としては足し算が可能です。おにぎりと人間でいえば
1kgのおにぎりを50kgの人間が食べれば1＋50=51(kg)となるし、
ジュースだって0.5＋0.5＋0.5＝1.5(l)ですよね。

四則計算の基本は数と値です。数とは独立したものを指すものであり
これにより式が成り立つわけではありません。式が成り立つもっとも重要な
ことは値が共通であることです。すなわち、人が何を主眼に物事を思考するかです。
独立した個体なのか、個体を無視した重量やエネルギー量なのか、って具合です。
この考え方により数値は激変します。個体で考えれば１：１なのに重量で
考えれば１：５０となるように、人間も見方を変えれば１にもなるし、
５０にもなるということですね。

No.1のところで水と紙の足し算があり、kokirikoさんは屁理屈なら足し算できる
とありましたが、まさにそれが人間個々の着眼点によって水と紙は足し算が
できる、できないの発想になるわけです。どちらも間違いではないんですね。
ただ、これでは意志の疎通ができない。だからこそ、共通思考が可能な値が
必要なわけです。

数と値はおもしろいですね。バケツからコップ１杯の水をくんだら、式としては
1-1＝2になり、その水をまたバケツに戻せば１＋１＝１になる。数としては
これだけ変化するのに、トータルの水量はどんな作業をしようが、一定の
まま。入れ物に着眼すれば、作業に関係なくコップ１つとバケツ１つ。

まとめると、算術に必要なのは数ではなく数値である、そして数値ではない
演算は人の主観によるものであり不変ではない、ということです。

この回答へのお礼

回答していただきありがとう御座います。
noribou11さんのおっしゃる通りです。私の疑問も、まさにそこから生じてしまいました。観点を変えると、正しいはずの答えと異なる、別の正しい答えが導き出される、それが設問という方向性の影響で変わるのだから面白いですね。
設問によって共通思考を与え、どういった観点から見ればよいのかということをきちんと考えれば良いわけですね。

お礼日時：2001/09/10 16:16

No.6 回答者： bob 回答日時： 2001/09/10 15:55

自分は数学者ではありませんが、数学は必ず定義から始まっているはずです。

定義が変われば結果も変わります。結果に矛盾が出てくればその定義は捨てられます。太古からのそういった積み重ねが現在の数学です。

「１＋１＝２」が帰納的に導き出される事はあり得ないと思われます。「１＋１＝１０」と定義しても問題なく数学が構築できる事は御存じでしょう。

異なるものを足す事はできません。kokirikoさんが異なるものの足し算としてあげた例で左辺に挙げているのは右辺の単位で見た時に同じものです。
男１[人]＋女１[人]＝２[人]

これが１[男]＋１[女]になると定義無しには計算できません。

この回答へのお礼

回答していただきありがとう御座います。
＞「１＋１＝１０」と定義しても問題なく数学が構築できる事は御存じでしょう。
そうなのですよね、それゆえに判らなくなってしまったものですから。
左辺と右辺という考え方を今までしていなかったので、新鮮なものして捉えさせていただきました。
少しこの視点で考えてみますね。

お礼日時：2001/09/10 16:30

No.7 回答者： cse_ri 回答日時： 2001/09/10 16:13

再コメントします。

No.3では

＞何を１として認識するかの基準は、もはや数学を超え、哲学の分野になって
＞しまう のではないかと、私は考えています。

とコメントしたのですが、No.4の意見を読んで目からウロコが落ちました。
そうです。何を１とするかは「単位」をどうするかということです。

同じ単位どうしならば、計算ができます。単位が違えば計算できません。


男１＋女１という計算の場合、「人間」を単位で数えれば
　男１(人)＋女１(人)＝２(人)
と計算できますが、「男」と「女」を別単位で数えると、
　男１(１男)＋女１(１女)という計算は成立しません。単位が違うからです。

大人と子供の足し算もそうですね。単位を人で数えるか、大人と子供を別単位
で数えるかで、計算できるかできないかが決まります。

そして単位をどうやって決定するかは、各人の主観ですね。
複数の人がいる場合、各人の主観ではなくてグループの主観となります。

この回答へのお礼

再びご回答いただきありがとう御座います。
単位の問題なのでしょうか？　実は私は単位というよりは集合の問題であると考えています。どのグループに属すものなのかということですね。
そのグループを1単位とすれば良い話なのですが、計数としての単位はこの場合意味をなさないのではないでしょうか？　算数の計算として考えれば重要ですが。

お礼日時：2001/09/10 16:25

No.8 回答者： bob 回答日時： 2001/09/10 17:17

私も自己フォローしときます。

「異なるものを足す事はできない」の前に「一般の数学では」を追加しておきます。すぐ後に書いてあるように定義があれば異なるものでも足せます。


今回の質問の本質はあくまで「定義」に対する認識にあると思います。定義により「系」が構成され、その系の中では定義を前提に証明が許されます。矛盾のある系は定義に問題があるので定義とともに無用の物として一般には捨てられます。矛盾の見当たらない系のうち有用と思われるものが主に生き残り研究・活用されます。
重要な事として、その系の中でその系を構成する定義を証明する事はできません。kokirikoさんの疑問では１＋１＝２を集合論から導き出せるのでは、としている部分がこれに相当すると考えられます。

もしかすると、非ユークリッド幾何学の発見（発明）をキーワードに調べると良いヒントになるかも知れません。「ある直線L上にない点Ａを通り直線Lに平行な直線は一本しかない」という常識的な事実を証明しようと人類は一生懸命がんばってきたのですが...てなお話（もちろん事実）です。

この回答へのお礼

ふただび回答ありがとう御座います。
＞定義により「系」が構成され
あっそうですね。参考になります。
＞非ユークリッド幾何学の発見
ユークリッド幾何学ですか？図形の計算くらいしか思いつかないけれど・・、すみません調べてみます。

お礼日時：2001/09/10 18:12

No.9 回答者： a-kuma 回答日時： 2001/09/10 17:20

おおっ、あっという間に回答が増えてる。

> ＞紙１(枚)＋水１(リットル）＝２ とは思わないですよね。
> そうでしょうか？　もし「机の上に」との説明がつけば、机上にある物としての括りになるわけですから、その場合は２になります。
> ごめんなさい屁理屈みたいで、でも私が知りたいのはそこのところなのです。

あなたがお礼で書いているように「机上にある物」という汎化をしているわけです
から不思議ではありませんし、屁理屈でもないと思います。

単位が違う表記の数値を、単位を無視して数値だけを勘定する、という汎化をする
ことが、どれだけメジャーかどうかということにつきるのだと思います。

あまりメジャーではないかもしれない、という思いが「屁理屈みたいで」なんて
表現になるのでしょう。

さすがに No.5 の回答の

noribou11> 例えば、一つのおにぎりと一人の人間、この人がおにぎりを食べたらどうなるか、
noribou11> 別にどうにもなりません。一人の人間のお腹が満足するだけです。
noribou11> つまり、１＋１＝１（人）になってしまいます。

は、違和感があるかもしれません。

というのは、数の方だけをターゲットにしているのに、このケースは演算子「＋」に
ついての汎化をしているからです。

通常「＋」は、数値の足し算を表す場合が多いのでしょうが、その日本語の「足す」
というところを捉えて、「一緒になる」という行為も視野に入れ、それらを汎化した
行為の表記を「＋」と表現する、ということをやっているのですね。

この回答へのお礼

再び回答ありがとう御座います。
汎化することが、重要であることが判りやすく参考になりました。

お礼日時：2001/09/10 18:17

No.10 回答者： yanmaa 回答日時： 2001/09/10 17:37

１とか２とか数値ですよね。

「人」とか「つ」、「匹」は単位ですよね。
異なる単位を足すと時は単位を合わせる必要がありますよね。

男１人＋女１人＝２人
で有れば人の数として足し算していますよね。

大人＋子供＝２人も人の数で足してますよね

花のコップ＋お皿＝２つは物の数として足してますよね。
皿は１枚と数えるところを１つ、２つと数えただけ

たぬき１＋きりん１＝２匹は生き物の数として足してますよね。

No1の補足に至っては机の上にある物体の数を数えているだけですよね。

数値自身に意味があるのではなく単位に意味があるので２という数値が意味するのは単なる２と値であってその後に続く単位が有って初めて意味をなすのです。

２という値をどのような単位で括ったかが問題であり数値自身はその結果でしかないと私は思いますが

この回答へのお礼

ご回答いただきありがとう御座いました。

お礼日時：2001/09/10 18:41