（√2+1)ⁿ(√2−1）＝(√2+1)ⁿ⁻¹ 左辺がどういう過程で右辺になるのかを教えてください！

（√2+1)ⁿ(√2−1）＝(√2+1)ⁿ⁻¹

左辺がどういう過程で右辺になるのかを教えてください！

No.5 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/05/08 18:07

和と差の積[(a+b)(a-b)=a²-b²]、と、指数法則でのaⁿ⁻¹･a¹=aⁿを使う

指数法則
(√2+1)ⁿ=(√2+1)ⁿ⁻¹･(√2+1)

和と差の積
(√2+1)(√2−1)=(√2)²-1²=2-1=1

∴(√2+1)ⁿ(√2−1)=(√2+1)ⁿ⁻¹･(√2+1)(√2−1)

=(√2+1)ⁿ⁻¹･1 =(√2+1)ⁿ⁻¹

No.4 回答者： usa3usa 回答日時： 2023/05/08 08:34

>左辺がどういう過程で右辺になるのかを教えてください！

(√2−1）= 1/（√2+1) つまり、(√2−1）は（√2+1) の逆数なので、・・・

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2023/05/06 11:42

(a + b)(a - b) = a² - b²

を使うんです。
　　(a + b)ⁿ(a − b)
　　＝((a + b)ⁿ⁻¹) (a + b)(a - b)
　　＝((a + b)ⁿ⁻¹) (a² - b²)
ここで a = √2, b = 1 とすればご質問の問題になり、そして
　　a² - b² = (√2)² - 1² = 1

No.2 回答者： mimon01 回答日時： 2023/05/06 00:13

(√2+1)^n*(√2−1)

=(√2+1)^(n-1)*(√2+1)*(√2−1）
=(√2+1)^(n-1)*((√2)^2)-1^2)
=(√2+1)^(n-1)*(2-1)
=(√2+1)^(n-1)*1
=(√2+1)^(n-1)

No.1 回答者： fine_day 回答日時： 2023/05/05 23:57

(√2+1)ⁿ＝(√2+1)ⁿ⁻¹(√2+1)

(√2+1)(√2−1)
　＝(√2)²－1²
　＝2－1
　＝1

よって

(√2+1)ⁿ(√2−1)
　＝(√2+1)ⁿ⁻¹(√2+1)(√2−1)
　＝(√2+1)ⁿ⁻¹・1
　＝(√2+1)ⁿ⁻¹