高校 数2

この問題の解き方が分からないので教えて頂きたいです！

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/05/09 01:46

多項式 f(x) の x^3 項の係数は、f’’’(0)/(3!) です。

マクローリン展開を思い出せば、判りますね？

f(x) = (3x + 2)^5 = (3^5)(x + 2/3)^5 であれば、
f’(x) = (3^5)・５(x + 2/3)^４，
f’’(x) = (3^5)・５・4(x + 2/3)^3，
f’’’(x) = (3^5)・５・4・3(x + 2/3)^2
より、求めたい係数は
f’’’(0)/(3!) = { (3^5)・５・4・3(0 + 2/3)^2 }/(3・2・1)
　　　　　= 1080.

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2023/05/08 00:17

二項定理を使います。

「二項定理」がどういうものかは、教科書をよく読むこと。
ちゃんとわかりやすく書いてあるよ。

　　　　　　　1
　　　　　　1 1
　　　　　1　 2 　1
　　　　1　 3　 3　 1
　　　1　 4　 6　 4　 1
　　1　 5　 10　10　5　1

なので（こんなのは暗記する必要はない）
　(A + B)^5
= A^5 + 5A^4･B + 10A^3･B^2 + 10A^2･B^3 + 5A･B^4 + B^5
となる。

A = 3x
B ＝ 2
とすれば、x^3 の項とは「10A^3･B^2」なので

　10A^3･B^2 = 10･(3x)^3･2^2
　　　　　　　＝ 10･27x^3･4
　　　　　　　= 1080x^3