どうやって材料を積み上げればよいか。

地球の質量はMとします。

いま、質量がmの物体が地球から受ける重力fは、物体と地球の重心との距離がRのとき、

f(R)=GmM/(R^2)
とします。
(Gは重力定数)

また、地面と地球の重心との距離はDとします。

いま、密度がρの金属材料があります。この材料は、1平方mあたり、Pの力を受けると崩壊します。さらに、この金属はどこまでも小さくなれるとします。(どこまで分割しても素粒子で終わらない)

この金属を地面から積み上げていきます。

できるだけ高く積み上げた場合、金属の表面の形状は、どんな形になりますか。

また、最高到達点は、どこですか。

質問者からの補足コメント

• 地球は自転していないとします。
  
  地球は真球とします。
  
  地面はどんな力を受けても陥没しないとします。
  
  他に、突っ込みどころがあるなら、条件は決めていただいて結構です。

    補足日時：2023/05/15 22:41

• 材料は、地球の資源を使わずに地球外から調達します。つまり、地球の質量は変わらずに材料の質量だけが、増えていきます。

    補足日時：2023/05/15 22:52

• 次点。(近似)
  
  地面は、無限に広い平面とします。
  
  重力加速度は、空間のどこでもgとします。

    補足日時：2023/05/15 23:03

• 次点の訂正。
  
  材料は、半径ｒの円内にしか積み上げられないとします。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/05/15 23:05

No.3 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2023/05/16 10:24

●「金属材料」とおっしゃるのは、おそらく剛体ではないけれども圧縮は無視できる、ってことでしょう。

●「どこまでも小さくなれる」というのは、サイズによらず物性が変わらない。（もちろん、現実にはそうはらなんですが。）ものすごく細くなることを想定していらっしゃるんでしょう。
●「崩壊」とおっしゃるのは、電子の縮退圧を越える（金属が中性子の塊に変わって極端に縮小してしまう）ってことでしょうね。その近辺の圧力では圧縮が無視できなくなりますが、ま、それはさておきということで。

　地球のサイズを無限に大きい（だから一様重力場である）とし、積み上げた金属の山自体に由来する重力も無視するものとしましょう。
　ある重さwの構造物を置いたとする。それをdhだけ持ち上げて、下に支えを挿入する。この支えは梁や柱をうまく組み合わせてあって、荷重wを水平断面積Sに分散して支えることで、一定の圧力pになるようになっているものとする。なので、S=w/p です。そして、支え自体の重さdwは dw=ρSdh だから、S = ρdh/dwというわけで、
　　　dS/dh = -ρS
という微分方程式。その解は
　　S(h) = K exp(-ρh)
となる。つまり、（細かい形状を決める構造力学の話は難しいですけれども）おおざっぱに水平断面の大きさだけで言えば、上に行くほど指数関数的に細くなりながら、いくらでも高くできる。エッフェル塔や東京タワーみたいな格好ですね。現実には、細くなりすぎると不安定になって、座屈を起こすでしょうけれども。

No.2 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/05/15 23:19

材料は等方的な応力が加わった場合は変形しません。

すなわち鉄球を深海に沈めて、降伏点を上回る応力を受けても、等方的であるがため変形しません。

仮に構造的に崩壊しても、逃げ場が無いため、形状を維持し続けます。

よって、地球全面を覆いながらどこまでも積み上がることができます。

星々が丸いのもそのためです。

No.1 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/05/15 22:54

地球上の水のごとく、地球全面を覆いながらどこまでも積み上がる。