lim(x→0) (1＋1/x)^x って答えなんですか？ おそらく先生はx→∞のつもりで出したんで

lim(x→0) (1＋1/x)^x って答えなんですか？

おそらく先生はx→∞のつもりで出したんでしょうけどミスったみたいなんで。

−1<=x<=0 では定義されないので、
この場合は右側極限のみでokですか？

質問者からの補足コメント

• 右側極限のみを極限値にして良いのかどうか。
  右側極限の値は1ってことはわかります。

    補足日時：2023/06/02 18:09

No.4 回答者： BlockedOldManAgain 回答日時： 2023/06/03 09:22

＞ 右側極限のみを極限値にして良いのかどうか。

それは、式の字面から推理したり
質問掲示板で相談したりすることではなく、
出題者の先生に質問すべきことでしょう。

式が書いてあればそこに何か意味がある
というのは、ありがちな勘違いです。
例えば、「１＋×2÷」を計算せよ
と言われたらどうします？
数式は、それが意味を持つように書かれて初めて
意味を持つのです。

lim[x→a] f(x) の x→a を
f(x) の定義域だけを通って近づくと解釈してよい
という一般的なルールはありません。

lim[x→0] (1＋1/x)^x を何らか計算しようと思ったら、
あなたのように lim[x→+0] (1＋1/x)^x の意図だと解釈するか、
あと、(1＋1/x)^x を複素関数と解釈する手もあるかな。
どちらの場合も極限は 1 に収束しますが、
黙って式変形だけ書いて =1 としておくよりも、
「問題がおかしい。そこをこう解釈して計算した。」という部分を
付記しておくほうが答案としては上等でしょう。

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/06/02 23:02

そうです

lim(x→0)はlim(x→+0)になります。そうでないとかいてあれば
無意味な問題です。

この回答へのお礼

もともとx→∞ でeに収束するってことを問う問題が間違えて→0で出しちゃったみたいなんで、無意味な問題の可能性があるんですけどね

お礼日時：2023/06/02 23:38

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/06/02 19:43

失礼しました。

　x>0 または x<-1
でした。なので、
　x → +0
でした。

この回答へのお礼

x→−0が定義されない場合は右側極限(x→+0)がそのまま極限値になるんですか？

お礼日時：2023/06/02 22:48

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/06/02 19:16

x≠0 かつ x>-1 で定義されています。

　y= (1＋1/x)^x
とおくと
　logy={log(1+1/x)}/(1/x)
なので、ロピタルして
　logy → {1/(1+1/x)}(-1/x²)/(-1/x²)=1/(1+1/x) → 0
したがって
　y → 1

この回答へのお礼

されていないと思いますよ。−1<=x<0のとき底は正ではありません。

お礼日時：2023/06/02 19:27