点P(x,y)が平面上の領域|x|+|y|≦1を動くとする。X=x+y, Y=xyとするとき，点Q(

点P(x,y)が平面上の領域|x|+|y|≦1を動くとする。X=x+y, Y=xyとするとき，点Q(X,Y)はどのような範囲を動くか。XY平面上に図示せよ。
この問題の解き方が分かりません。解説お願いします。

No.1 回答者： へのへのもへへ 回答日時： 2023/07/23 10:41

小文字の式の両辺を２乗し、

左辺にXYを代入したら、
XYの二次曲線を含む境界で
示す領域が出てくる。

この回答へのお礼

数Ⅲを使わずに解くにはどうすれば良いですか？

お礼日時：2023/07/23 11:44

No.2 回答者： へのへのもへへ 回答日時： 2023/07/23 10:42

ただし、2xyの項は、絶対値で場合わけが必要。

No.3 回答者： へのへのもへへ 回答日時： 2023/07/23 11:46

やってみたら？二次曲線じゃなくて二次関数になるかも。

この回答へのお礼

わかりました。ちなみに別の解法はありますか？

お礼日時：2023/07/23 12:11

No.4 回答者： へのへのもへへ 回答日時： 2023/07/23 13:34

私は思い付きません。

ちなみに、平面上の領域の式の両辺を
２乗すると、
xy≧0の場合(つまり第一象限か第三象限)
x^2+2xy+y^2≦1
⇒X^2≦1

xy<0の場合(つまり第二象限か第四象限)
x^2-2xy+y^2≦1
⇒X^2-4Y≦1

で、数Ⅰの範疇で解ける様な気がします。
※変数変換の概念は数Ⅱですかね？

この回答へのお礼

何度もすみせません。つまりXY平面上にX^2-4Y≦1を図示すれば良いということですか？

お礼日時：2023/07/23 14:20

No.5 回答者： へのへのもへへ 回答日時： 2023/07/23 13:43

さっきの場合分けをもっと簡単に書くと、

Y≧0
Y<0
になりますね。

No.6 ベストアンサー 回答者： MayTyu 回答日時： 2023/07/23 14:22

図の通りです。

青の一番濃い部分が求める領域です。

No.7 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/07/23 14:26

X,Yは分かりにくいので、u,vとする。

1.
(x,y) → (-x,-y)とすると　|x|+|y|≦1　の条件は変わらず
　u → -u、v=v
だから、(x,y)の第1,3象限の領域の(u,v)の写像は v軸に対
して対称となる。

また、(x,-y) → (-x,y)とすると　|x|+|y|≦1　の条件は変
わらず
　u → -u、v=v
だから、(x,y)の第2,4象限の領域の(u,v)の写像も v軸に対
して対称となる。

つまり、(x,y)の第1、4象限だけを調べればよい。

2.
(x,y)の第1象限の領域で、x+y=a (0≦a≦1) の線分の写像
考える。
　0≦x≦a
　u=x+y=a
　v=xy=x(a-x)
すると
　v=0～a²/4
となり、u=a(一定)でvの長さ a²/4の直線に移る。この直線
が a=0～1 を動いた領域になるから、この直線の下側は v=0
で変わらず、上側は v=u²/4の放物線になるから、図1のよう
に、
　v=0, v=u²/4, u=1
で囲まれる領域となる。

3.
(x,y)の第4象限の領域で、x-y=a (0≦a≦1) の線分の写像
考える。
　0≦x≦a
　u=x+y=x+(x-a)=2x-a
　v=xy=x(x-a)
すると x=(u+a)/2 だから
　u=-a～a
　v={(u+a)/2}{(u+a)/2-a}=(u²-a²)/4
となり、写像はu軸の交点が、u=±a, 頂点が v=-a²/4 の
放物線になる。

これが、a=0～1を動いた領域だから、v=0、v=(u²-1)/4
で囲まれた、図２の逆かまぼこのような領域となる。

4.
以上をまとめると、上の２つの領域をv軸で対象とした、
図3の領域となる。

No.8 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/07/23 14:28

X,Yは分かりにくいので、u,vとする。

1.
(x,y) → (-x,-y)とすると　|x|+|y|≦1　の条件は変わらず
　u → -u、v=v
だから、(x,y)の第1,3象限の領域の(u,v)の写像は v軸に対
して対称となる。

また、(x,-y) → (-x,y)とすると　|x|+|y|≦1　の条件は変
わらず
　u → -u、v=v
だから、(x,y)の第2,4象限の領域の(u,v)の写像も v軸に対
して対称となる。

つまり、(x,y)の第1、4象限だけを調べればよい。

2.
(x,y)の第1象限の領域で、x+y=a (0≦a≦1) の線分の写像
考える。
　0≦x≦a
　u=x+y=a
　v=xy=x(a-x)
すると
　v=0～a²/4
となり、u=a(一定)でvの長さ a²/4の直線に移る。この直線
が a=0～1 を動いた領域になるから、この直線の下側は v=0
で変わらず、上側は v=u²/4の放物線になるから、図1のよう
に、
　v=0, v=u²/4, u=1
で囲まれる領域となる。

3.
(x,y)の第4象限の領域で、x-y=a (0≦a≦1) の線分の写像
考える。
　0≦x≦a
　u=x+y=x+(x-a)=2x-a
　v=xy=x(x-a)
すると x=(u+a)/2 だから
　u=-a～a
　v={(u+a)/2}{(u+a)/2-a}=(u²-a²)/4
となり、写像はu軸の交点が、u=±a, 頂点が v=-a²/4 の
放物線になる。

これが、a=0～1を動いた領域だから、v=0、v=(u²-1)/4
で囲まれた、図２の逆かまぼこのような領域となる。

4.
以上をまとめると、上の２つの領域をv軸で対象とした、
図3の領域となる。

No.9 回答者： へのへのもへへ 回答日時： 2023/07/23 14:29

これでどうですか？解像度が悪い場合、拡大して撮影するので申し付けください。

No.10 回答者： へのへのもへへ 回答日時： 2023/07/23 14:30

いま紙で解いて、写メでアップロードしようとしています。

解像度が悪かったら拡大するので、言ってね。