点P(x,y)が平面上の領域|x|+|y|≦1を動くとする。X=x+y, Y=xyとするとき，点Q(

点P(x,y)が平面上の領域|x|+|y|≦1を動くとする。X=x+y, Y=xyとするとき，点Q(X,Y)はどのような範囲を動くか。XY平面上に図示せよ。
この問題の解き方が分かりません。解説お願いします。

No.17 回答者： LHS07 回答日時： 2023/07/24 14:27

ｘ＞0　ｙ＞0のとき

ｘが0.0のとき　ｙは1.0以下
Ｘは1　Ｙは0.00

ｘが0.1のときｙは0.9以下　
Ｘは1　Ｙは0.09

ｘが0.2のときｙは0.8以下　
Ｘは1　Ｙは0.16

ｘが0.3のときｙは0.7以下　
Ｘは1　Ｙは0.21

ｘが0.4のときｙは0.6以下　
Ｘは1　Ｙは0.24

ｘが0.5のときｙは0.5以下　
Ｘは1　Ｙは0.25

ｘが0.6のときｙは0.4以下　
Ｘは1　Ｙは0.24

ｘが0.7のときｙは0.3以下　
Ｘは1　Ｙは0.21

ｘが0.8のときｙは0.2以下　
Ｘは1　Ｙは0.16

ｘが0.9のときｙは0.1以下　
Ｘは1　Ｙは0.09

ｘが1.0のとき　ｙは0.0以下
Ｘは1　Ｙは0.00

上下左右になるのでは？

No.16 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/07/23 17:12

|x|+|y|≦1

X=x+y
Y=xy

(|x|+|y|)^2≦1
x^2+y^2+2|xy|≦1

X^2-2Y=(x+y)^2-2xy=x^2+y^2≧0

X^2-2Y+2|Y|≦1
0≦2|Y|-2Y≦1-X^2
X^2≦1
-1≦X≦1

X^2-4Y≦1
X^2-1≦4Y

(X^2-1)/4≦Y

X^2-4Y=(x+y)^2-4xy=(x-y)^2≧0
X^2≧4Y
X^2/4≧Y

-1≦X≦1
(X^2-1)/4≦Y≦X^2/4

No.15 回答者： へのへのもへへ 回答日時： 2023/07/23 16:56

すみません、どうやら私が間違っているようです。

申し訳ありません。

この回答へのお礼

いえいえ。たくさん解答していただきありがとうございます。

お礼日時：2023/07/23 17:08

No.14 回答者： へのへのもへへ 回答日時： 2023/07/23 14:52

これで合っていると思います。

Y≧0の領域で、相加平均≧相乗平均を利用するのがポイントです。

この回答へのお礼

少しぼやけていて見にくいので、拡大して送ってもらってもいいですか。

お礼日時：2023/07/23 17:09

No.13 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/07/23 14:41

図が載せられない。

No.12 回答者： へのへのもへへ 回答日時： 2023/07/23 14:40

ごめんなさい、たぶんアップロードする解答はY≧0の領域の答えを間違えています。

ちょっと思い付かないな…考えますが…

No.11 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/07/23 14:31

図が載せられなかったので追加。

No.10 回答者： へのへのもへへ 回答日時： 2023/07/23 14:30

いま紙で解いて、写メでアップロードしようとしています。

解像度が悪かったら拡大するので、言ってね。

No.9 回答者： へのへのもへへ 回答日時： 2023/07/23 14:29

これでどうですか？解像度が悪い場合、拡大して撮影するので申し付けください。

No.8 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/07/23 14:28

X,Yは分かりにくいので、u,vとする。

1.
(x,y) → (-x,-y)とすると　|x|+|y|≦1　の条件は変わらず
　u → -u、v=v
だから、(x,y)の第1,3象限の領域の(u,v)の写像は v軸に対
して対称となる。

また、(x,-y) → (-x,y)とすると　|x|+|y|≦1　の条件は変
わらず
　u → -u、v=v
だから、(x,y)の第2,4象限の領域の(u,v)の写像も v軸に対
して対称となる。

つまり、(x,y)の第1、4象限だけを調べればよい。

2.
(x,y)の第1象限の領域で、x+y=a (0≦a≦1) の線分の写像
考える。
　0≦x≦a
　u=x+y=a
　v=xy=x(a-x)
すると
　v=0～a²/4
となり、u=a(一定)でvの長さ a²/4の直線に移る。この直線
が a=0～1 を動いた領域になるから、この直線の下側は v=0
で変わらず、上側は v=u²/4の放物線になるから、図1のよう
に、
　v=0, v=u²/4, u=1
で囲まれる領域となる。

3.
(x,y)の第4象限の領域で、x-y=a (0≦a≦1) の線分の写像
考える。
　0≦x≦a
　u=x+y=x+(x-a)=2x-a
　v=xy=x(x-a)
すると x=(u+a)/2 だから
　u=-a～a
　v={(u+a)/2}{(u+a)/2-a}=(u²-a²)/4
となり、写像はu軸の交点が、u=±a, 頂点が v=-a²/4 の
放物線になる。

これが、a=0～1を動いた領域だから、v=0、v=(u²-1)/4
で囲まれた、図２の逆かまぼこのような領域となる。

4.
以上をまとめると、上の２つの領域をv軸で対象とした、
図3の領域となる。