もう１枚のカードの色

Aさんは、無作為に２枚のカード（トランプ）を手に取って、私には見せずに内容を確認した。

①Aさんは、「黒のカードを見せよう」と言いながら、私に１枚の黒のカードを見せた。もう１枚も黒である確率は？

②Aさんから「好きな１枚を引いてみて」と言われ、私が無作為に引いたら黒のカードだった。もう１枚も黒である確率は？

両者とも、少なくとも１枚は黒だという設定です。

①は1/3、②は1/2が正解です。

この解答をベイズを用いず説明するにはどうすればよいのでしょう。最近出たスミスさんの子供問題をきっかけに、ベイズでない方法で説明するにはどうするか悩んでいます。

質問者からの補足コメント

• ①は1/3、②は1/2 という確率は、ベイズの公式に代入すれば自明に出てくる解です。
  私はそれは十分理解しています。
  私の質問は、②のケースをベイズの公式を用いずに説明するにはどうしたら良いかです。
  
  ベイズの式を使えば、
  
  P(黒を引き当てる｜黒黒)＝１
  P(黒を引き当てる｜黒赤)＝1/2
  P(黒を引き当てる｜赤黒)＝1/2
  
  なので、黒黒の場合は全体の1/2になります。
  
  このような条件付き確率を用いない説明は無いのかな？という疑問です。

    補足日時：2023/09/21 11:02

• 間違いを犯していました。
  勝手ながら、前提を変更させて下さい。
  
  トランプは１セットでなく、無数にあるが、赤黒の比率は１：１である

    補足日時：2023/09/21 11:08

• 『そもそも、質問の問題①,②は、ある条件下での確率の値を問うている。
  
  P(黒黒｜Ａさんが黒を選んで見せることができた)
  P(黒黒｜私が黒を引き当てることができた)
  
  このような条件付き確率を求めよという問題に、
  条件付き確率を用いない説明があろうはずもない。』（補足あり）
  
  というありものがたりさんの回答が納得できました。
  
  もう少し、他の皆様のご意見をお待ちしようと思います。

    補足日時：2023/09/21 11:56

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2023/09/21 10:20

①　２枚とも黒である場合の数/少なくとも１枚は黒である場合の数

②　２枚とも黒である場合の数/52C2
でいいんじゃないかな？

この回答へのお礼

それぞれの場合の数は、
> choose(52, 2)・・・全ての場合の数
[1] 1326
> choose(26, 2)・・・２枚とも同色の場合の数
[1] 325

これを元に計算すると、
> 325 / (1326 - 325)・・・(２枚とも黒)／(２枚とも赤の排他)
[1] 0.3246753
> 325 / 1326・・・(２枚とも黒)／(全ての場合の数)
[1] 0.245098

どうやら違うようです。

お礼日時：2023/09/21 10:35

No.2 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/09/21 10:26

①

二枚が黒の場合、片方の黒を見せれば良いので、残りが黒になるのは2通り。
赤黒の場合は、黒をみせたら残りは赤。
全部で3通り有って、黒が2通りだから、答は1/3では無くて2/3です。

2番
貴方が1枚引いてしまったのだから、黒2枚でも残り黒は1通りしか有りません。
なので、1/2です。

この回答へのお礼

①は、黒を見せることができるのは、黒黒、黒赤、赤黒のケース。そのうちの黒黒だから1/3というのが、スミスさんの子供問題での皆さんの回答です。
2/3にはなりません。

②は、先般のご質問者の疑問と同じです。スミスさんの子供の１人が男の子と分かってしまったのだから「もう一人は男か女かのどちらかでしょう」という考え方。
これを皆さんは全力で否定していましたよね。
私の疑問は、それに反論できる論拠です。

よろしくお願いいたします。

お礼日時：2023/09/21 10:51

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/09/21 11:00

そもそも、

＞ ①は1/3、②は1/2
は正解ではない。
No.1 お礼欄の計算が正しい。

無作為に２枚のカードを手に取ったら、非復元抽出になるから
各カードが黒か赤かは独立じゃあない。このため、
質問の問題はスミスさんの子供問題とは内容が違う。

この回答へのお礼

たしかに非復元抽出ですね。
ご指摘、ありがとうございます。
補足にて、前提を変更させて頂きます。

引き続き、よろしくお願いいたします。

お礼日時：2023/09/21 11:11

No.4 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/09/21 11:17

>>黒黒、黒赤、赤黒のケース。

そのうちの黒黒だから1/3というのが、スミスさんの子供問題での皆さんの回答です。

これが間違いなのです。
黒赤、赤黒のケースの場合は、黒を見せてしまってるのだから、残りは赤しか有りません。

黒黒のケースの場合は、左を見せたら残りの右が黒、右を見せたら残りの左が黒。

黒黒のケースの場合の方が、可能性が2倍になるのです。

だから、2/3なのです。

この問題は確率の初歩問題で有って、直感が実際とは違う例として良く出てくる確率問題です。

同じ事のアレンジ。
2枚のカードが有って、1枚は表裏が黒黒、残り1枚は黒白。
無作為に1枚を机に置いたら、黒を上にして出た。
では、下も黒である確率は？　2/3です。

もう1個
袋に黒玉と白玉が同数あります。
両手を入れて各手に1個ずる取ります。
片方の手を開けると黒玉でした。
ではもう片方が黒である確率は？　2/3です。

この回答へのお礼

うーん。
もう１枚の残されたカードがそんなに高い確率で同色なんて・・・。

お礼日時：2023/09/21 11:31

No.5 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/09/21 11:19

＞ このような条件付き確率を用いない説明は無いのかな？という疑問です。

そもそも、質問の問題①,②は、ある条件下での確率の値を問うている。
条件付き確率を求めよという問題に、
条件付き確率を用いない説明があろうはずもない。
それを使ったことを巧妙に伏せる言い回しならあるかもしれないが、
そういう修辞的な話をしているの？

この回答へのお礼

＞ 条件付き確率を用いない説明があろうはずもない。

確かにおっしゃるとおりですね。
実は、最近社内で、確率ロボティクス等の応用が増え、どうしてもベイズを使わざるを得ない場面があるのですが、古典的な考えの方の反論のせいで、ベイズの普及がままならないのです。

このような初歩問題を使って切り崩しができれば・・・と思った次第です。

P(黒を選択して見せることができる｜黒黒)＝１
P(黒を選択して見せることができる｜黒赤)＝１
P(黒を選択して見せることができる｜赤黒)＝１
P(黒を選択して見せることができる｜赤赤)＝０

P(私が黒を引き当てることができる｜黒黒)＝１
P(私が黒を引き当てることができる｜黒赤)＝1/2
P(私が黒を引き当てることができる｜赤黒)＝1/2
P(私が黒を引き当てることができる｜赤赤)＝０

やはり、このような生起確率の違いを説明するしかないのでしょうか？

お礼日時：2023/09/21 11:42

No.6 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/09/21 11:30

>>スミスさんの子供問題での皆さんの回答です。

スミスさんの子供問題とこの質問は全く違うものですよ。
ジックリ較べてください。

スミスさんの子供問題
少なくとも1人は女の子である。
では、2人とも女の子である確率は？
ですよ。

投稿をスミスさんの子供問題にあてはめると
少なくとも1人は女の子である。
では、残りの1人が女の子である確率は？
ですよ。

No.7 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/09/21 11:35

>>うーん。

>>もう１枚の残されたカードがそんなに高い確率で同色なんて・・・。
黒黒の場合は、ひっくり返ってでてる可能性があるのです。
2通り

黒白の場合は、ひっくり返っても白なら場合から除外されてるんですから、1通りしか無いのです。

No.8 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/09/21 12:36

カード2枚作って、黒黒、黒白と書いて実際に何回も試せば、2:1になる事実が実感出来ると思います。

そうしたら、スミスさんの子供問題と質問投稿の違いを、真面目に考えると思います。
「両方共に」と「もう片方は」の違いです。

No.9 回答者： ask001 回答日時： 2023/09/21 15:11

トランプ2枚をa, bとすると、無作為に2枚取ったとき、その組み合わせは

a　　b
黒　黒　i
黒　赤　ii
赤　黒　iii
赤　赤　iv

今回、少なくとも1枚は黒という前提がある、というのは両方赤の場合はAさんはそもそもこの話を始めないということです。

よって、実際には
a　　b
黒　黒　i
黒　赤　ii
赤　黒　iii
しかありえません。
ii, iiiのときはAさんは黒の方を選んで見せ、残るのは赤です。
iのときのみ、Aさんが見せなかった方のカードも黒、ということになります。
3通りのうち1通りなので、答えは1/3になります。

②の場合は、ivもあり得るので、1/4になります。

No.10 回答者： stomachman 回答日時： 2023/09/21 16:26

> ②Aさんから「好きな１枚を引いてみて」と言われ、私が無作為に引いたら黒のカードだった。

もう１枚も黒である確率は？

というのは

Aさんが持っている2枚のカードのうちの1枚を私が無作為に選んだ。それが黒である確率は幾らか。（その選んだカードとは、「私が引かなかったカード」です。）

と同じこと。問われている確率は「Aさんはどうやってそれらのカードを持つに至ったか」だけで決まる。で、

> トランプは１セットでなく、無数にあるが、赤黒の比率は１：１である
> Aさんは、無作為に２枚のカード（トランプ）を手に取って

という経緯であれば、

赤黒の比率は１：１である、という条件のもとで、ランダムに引いたカードが黒である確率は幾らか

と同じこと。

＾＾＾＾＾＾＾＾＾＾＾＾
ところで

> ①は1/3

というのは一体どこから出てくるかな。

　こちらで問われている確率は「Aさんはどうやってそれらのカードを持つに至ったか」だけじゃなくて、「Aさんがどうやって【『黒のカードを見せよう』と言いながら、私に１枚の黒のカードを見せた。】という行動を取るに至ったか」にもよる。

　カモがベイズの定理を勉強したばかりだということを知ったAさんは、無作為に２枚のカードを手に取って内容を確認し、
● 黒2枚だったら「黒のカードを見せよう」と言いながら、カモに１枚の黒のカードを見せて、「さて、もう一枚が黒か赤か、賭けをしないか」と持ちかける。
● 赤2枚だったら「赤のカードを見せよう」と言いながら、カモに１枚の赤のカードを見せて、「さて、もう一枚が黒か赤か、賭けをしないか」と持ちかける。
● 赤と黒だったらスタンダールについてウンチクを語り始める。
というルールで行動しているのかもしれんでしょうよ。

　ベイズ推論には暗黙裡にいろんな仮定が入っているんで、よほど気をつけなくちゃカモにされます。

この回答へのお礼

暗黙裡の仮定や恣意性なんてどうあれ、相手からすれば黒のカードを選んで見せたという「観測事実」が重要。
その観測事実の生起確率が、条件によって異なる点を見落とさなければカモにはならない。

お礼日時：2023/09/22 17:24