もう１枚のカードの色

Aさんは、無作為に２枚のカード（トランプ）を手に取って、私には見せずに内容を確認した。

①Aさんは、「黒のカードを見せよう」と言いながら、私に１枚の黒のカードを見せた。もう１枚も黒である確率は？

②Aさんから「好きな１枚を引いてみて」と言われ、私が無作為に引いたら黒のカードだった。もう１枚も黒である確率は？

両者とも、少なくとも１枚は黒だという設定です。

①は1/3、②は1/2が正解です。

この解答をベイズを用いず説明するにはどうすればよいのでしょう。最近出たスミスさんの子供問題をきっかけに、ベイズでない方法で説明するにはどうするか悩んでいます。

質問者からの補足コメント

• ①は1/3、②は1/2 という確率は、ベイズの公式に代入すれば自明に出てくる解です。
  私はそれは十分理解しています。
  私の質問は、②のケースをベイズの公式を用いずに説明するにはどうしたら良いかです。
  
  ベイズの式を使えば、
  
  P(黒を引き当てる｜黒黒)＝１
  P(黒を引き当てる｜黒赤)＝1/2
  P(黒を引き当てる｜赤黒)＝1/2
  
  なので、黒黒の場合は全体の1/2になります。
  
  このような条件付き確率を用いない説明は無いのかな？という疑問です。

    補足日時：2023/09/21 11:02

• 間違いを犯していました。
  勝手ながら、前提を変更させて下さい。
  
  トランプは１セットでなく、無数にあるが、赤黒の比率は１：１である

    補足日時：2023/09/21 11:08

• 『そもそも、質問の問題①,②は、ある条件下での確率の値を問うている。
  
  P(黒黒｜Ａさんが黒を選んで見せることができた)
  P(黒黒｜私が黒を引き当てることができた)
  
  このような条件付き確率を求めよという問題に、
  条件付き確率を用いない説明があろうはずもない。』（補足あり）
  
  というありものがたりさんの回答が納得できました。
  
  もう少し、他の皆様のご意見をお待ちしようと思います。

    補足日時：2023/09/21 11:56

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/09/21 11:00

そもそも、

＞ ①は1/3、②は1/2
は正解ではない。
No.1 お礼欄の計算が正しい。

無作為に２枚のカードを手に取ったら、非復元抽出になるから
各カードが黒か赤かは独立じゃあない。このため、
質問の問題はスミスさんの子供問題とは内容が違う。

この回答へのお礼

たしかに非復元抽出ですね。
ご指摘、ありがとうございます。
補足にて、前提を変更させて頂きます。

引き続き、よろしくお願いいたします。

お礼日時：2023/09/21 11:11

No.2 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/09/21 10:26

①

二枚が黒の場合、片方の黒を見せれば良いので、残りが黒になるのは2通り。
赤黒の場合は、黒をみせたら残りは赤。
全部で3通り有って、黒が2通りだから、答は1/3では無くて2/3です。

2番
貴方が1枚引いてしまったのだから、黒2枚でも残り黒は1通りしか有りません。
なので、1/2です。

この回答へのお礼

①は、黒を見せることができるのは、黒黒、黒赤、赤黒のケース。そのうちの黒黒だから1/3というのが、スミスさんの子供問題での皆さんの回答です。
2/3にはなりません。

②は、先般のご質問者の疑問と同じです。スミスさんの子供の１人が男の子と分かってしまったのだから「もう一人は男か女かのどちらかでしょう」という考え方。
これを皆さんは全力で否定していましたよね。
私の疑問は、それに反論できる論拠です。

よろしくお願いいたします。

お礼日時：2023/09/21 10:51

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2023/09/21 10:20

①　２枚とも黒である場合の数/少なくとも１枚は黒である場合の数

②　２枚とも黒である場合の数/52C2
でいいんじゃないかな？

この回答へのお礼

それぞれの場合の数は、
> choose(52, 2)・・・全ての場合の数
[1] 1326
> choose(26, 2)・・・２枚とも同色の場合の数
[1] 325

これを元に計算すると、
> 325 / (1326 - 325)・・・(２枚とも黒)／(２枚とも赤の排他)
[1] 0.3246753
> 325 / 1326・・・(２枚とも黒)／(全ての場合の数)
[1] 0.245098

どうやら違うようです。

お礼日時：2023/09/21 10:35