数学 因数分解の質問をさせて頂きます。

画像を添付しているので、ご確認頂けると幸いです。
計算式の3行目、
＝(2x－1)(4x²+2x+1)－6x(2x－1)の、真ん中
(4x²+2x+1)のやり方が分かりません。。
4x²って一体どうしたら出てくるんでしょうか?

質問者からの補足コメント

• 沢山のご回答ありがとうございます。
  ＝((2x)³－1³)(4x²+2x+1)－6x(2x－1)
  の((2x)³－1³)
  ⬆は8x³の1次である2xを指数の数だけ3乗するから(2x)³、－1³は定数項－1から。
  (4x²+2x+1)は2行目の式にある12x²÷3で4x²、6x÷3で2x、－1×－1で+1でしょうか?
  もしそうであれば、－6x(2x－1)という式は1つはそのままの2行目の式のまま3行目の式に反映されており、－6x(2x－1)のもう1つの式を(4x²+2x+1)に置き換えたということになるんでしょうか?

    補足日時：2023/10/10 22:20

No.6 回答者： sorewasennsei 回答日時： 2023/10/13 18:26

多分3次の定数係数８で目くらましをしていると信じて

2x=yと置いてみると
与式＝y^3-3y^2+3y-1=(y^3-1)-3y(y-1)
これを置きなおすと疑問の式になる。このまま最後まで変形して最後に置きもどすとよい。

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/10/11 14:20

そもそも (2x－1)(4x²+2x+1)－6x(2x－1) って変形が変態ですね。

あらかじめ答えが判っててテキトーに作ったとしか思えない途中式です。
普通に考えて、そんなの思いつきません。

写真の文章に、「”３次の項”と”定数項”に注目」って書いてありますよね。
整数係数の多項式=0 という方程式に有理数の解があるとすれば、
解は ±(定数項の約数)/(最高次の係数の約数) という形の値に限られる
...ということが知られています。 これは覚えておくべきです。

因数定理から、8x³-12x²+6x-1 の(有利係数の)一次因子は
x±(1約数)/(8の約数) という形に限られることが判ります。
8の約数をいろいろ試してみると、 x = 1/2 のとき 8x³-12x²+6x-1 = 0
になることが見つかります。よって、8x³-12x²+6x-1 は x-1/2 で割り切れます。
分母を払った 2x-1 で割ってみると、8x³-12x²+6x-1 = (2x-1)(4x²-4x+1) です。
4x²-4x+1 をどうしたらいいのかは解りますよね？ 二次式の因数分解ですから。
途中に (2x－1)(4x²+2x+1)－6x(2x－1) は経由しません。

No.4 回答者： sc348253 回答日時： 2023/10/10 20:32

単なる3次式の公式です。

a^3 - b^3=(a-b)(a^2 + ab +b^2)　................(1)
a=2x
b=1
と代入すれば　(4x²+2x+1)になります

a^3 + b^3=(a+b)(a^2 - ab +b^2)において
b に　-b を代入すれば (1)になりますね！また
パスカルの三角形　や　二項定理でもいいかと！
または
(2x-1)という因数があるのはわかると思いますから
((2x)^3 - 1^3 )÷(2x-1) を実際に割り算してもいいでしょう！

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2023/10/10 15:09

＞ 4x²って一体どうしたら出てくるんでしょうか?

(4x²+2x+1) だけでは どうにもなりません。← 式全体を見ましょう。
(2x－1)(4x²+2x+1)－6x(2x－1)
この式は 2x-1 が共通因子ですから これでくくります。
(2x-1)(4x²+2x+1-6x)=(2x-1)(4x²-4x+1) ここまでくれば 分かりますね。
4x²-4x+1=(2x-1)² ですね。
従って 全体では (2x-1)³ になります。

慣れてくれば NO1 さんのように 公式を使って、
8x³-12x²+6x-1=(2x)³-3*(2x)²*1+3*2x*1²-1³ と見て、
(2x-1)³ ができるようになります。

No.2 回答者： おーぃえー 回答日時： 2023/10/10 11:04

4x^2=(2x)^2

4x=2(2x)
であることに気付けば
4x^2-4x+1
=(2x)^2-2(2x)+1=[(2x)^2-1]^2
となる事がわかるかな。
読みにくいかな。
^2は2乗の意味です。

No.1 回答者： goorev 回答日時： 2023/10/10 08:51

僕は発達ガイジ君ですが

X^3 - Y^3

3乗の差の公式をそのまま使えばいいだけだと思うのですが、
どうでしょうか？
よろしくお願いします