数学の質問です（あえてMODは使わないで証明）

n^3＋2n＋１　が３で割ると1余るとこを証明せよ。（ｎは自然数である）

（ここから）
n^3＋2nが３で割り切れることを証明する。
n(n^2＋２）

★（１）ｎ＝3a , （２） ｎ＝3a-1 , （３）ｎ＝3a-2とおく。（a≧1）

で計算するとどちらかが３を因数に含む（式は省略）


よって与式は３で割ると１余る。


とやってみたのですが、
★の部分設定して、証明することで、自然数ｎについて証明したことになりますか？
（MODやってるのと同じになってるような気もしますが


回答は
n(n+1)(n-1)＋3ｎ＋1で必ず１余る
なのですが、この因数分解気づかなかったので・・・。

No.6 ベストアンサー 回答者： sc348253 回答日時： 2023/10/23 13:31

★（１）ｎ＝3a , （２） ｎ＝3a-1 , （３）ｎ＝3a-2とおく。

（a≧1）
でいいと思いますが　(1)は3の倍数ですし　(2),(3)は
n=3a±1　でいいと思うのですが！(n>=1)
n^3＋2n＋１=(3a±1)^3 +2(3a±1) +1
=27a^3 ±27a^2 +9a ±1　+6a ±2　+1
=3の倍数±3　+1 Ξ　1　(mod 3)
でいいと思います。
連続する３整数は3の倍数 n(n+1)(n-1)もよくでてくるので覚えておきましょう！3次式なら特に！　　　
回答はbest solution ですが　貴方のは基本的な解き方なのでいいと思います

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
MODは非常に便利ですが、MOD使わないで証明するぞブームなので。
この証明も考え方はMODですよね・・・。

お礼日時：2023/11/10 14:15

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/10/22 17:51

それでいい。

★の場合分けは、n が全ての自然数を網羅している。
つい （１）ｎ=3a, （２）ｎ=3a+1, （３）ｎ=3a+2 (aは非負整数) と
やりたくなるところで、n=0 でも余り 1 だからそれでもかまわないが、
阿呆な教員に間違った難癖つけられないためには★の方法がいい。

内容的にはMODやってるのと全く同じことだから
「あえてMODは使わない」は無意味なこだわりだが、
学校とかだと「教えてないこと使ったら減点」という採点もあるからね。
安全策としてはありえると思う。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
MOD便利すぎて、MOD脳になりつつあるので、
あえて使わずに証明したいと思っています。

お礼日時：2023/11/10 14:16

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2023/10/22 14:21

＞（２） ｎ＝3a-1 , （３）ｎ＝3a-2とおく

この場合は n=3a, n=3a±1 とした方が 後の計算が楽ですよ。
(3a±1)²=9a²±6a+1 。

＞MODやってるのと同じになってるような気もしますが

当然です 同じ事象の証明ですから。

この回答へのお礼

確かにご指摘の通りです！
賢さが３上がりました（笑

お礼日時：2023/11/10 14:16

No.3 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/10/22 09:42

それで、100点。

この回答へのお礼

ありがとうございます！100点ゲットぉ！

お礼日時：2023/11/10 14:17

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/10/22 05:01

それで十分ですよ。

回答は発見が必要ですが、あなたの方法は正攻法です。
ただ普通は　
　n=3m+r (m≧0, r=0,1,2)
とおいて、(n=0も含むが)
　r³+2r
が、r=0,1,2 の場合でも3の倍数になるという手銃だと
思います。分解の手順が1回で済む。

できれば、mod の方がクールかも。

この回答へのお礼

MODが便利すぎて、脳みそがMODになってしまっているので、
MOD使わないぜ月間です。回答ありがとうございます。

ご指摘の証明方法も面白いですね。

お礼日時：2023/11/10 14:19

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/10/22 04:53

n^3+2n+1=n(n^2+2)+1

n=3aのとき
n(n^2+2)+1
=3a(n^2+2)+1

n=3a-1のとき
n(n^2+2)+1
=n((3a-1)^2+2)+1
=n(9a^2-6a+3)+1
=3n(3a^2-2a+1)+1

n=3a-2のとき
n(n^2+2)+1
=n((3a-2)^2+2)+1
=n(9a^2-12a+6)+1
=3n(3a^2-4a+2)+1

であってます

n^3+2n+1=n(n+1)(n-1)+3n+1

n=3aのとき
n(n+1)(n-1)+3n+1
=3a(n+1)(n-1)+3n+1
=3{a(n+1)(n-1)+n}+1

n=3a-1のとき
n(n+1)(n-1)+3n+1
=n(3a)(n-1)+3n+1
=3n{a(n-1)+1}+1

n=3a-2のとき
n(n+1)(n-1)+3n+1
=n(n+1)(3a-3)+3n+1
=3n{(n+1)(a-1)+1}+1

でもよい