2＋3＝5

2＋3＝5　　を証明せよ

と言われたら、どんな形で証明しますか？

No.3 ベストアンサー 回答者： lazydog1 回答日時： 2014/01/21 08:08

　お礼、ありがとうございます。

#2です。

>お勧めやお気に入りはありますか？

　ご質問ですので無い知恵絞って「こういう方向にあるはずですよ」と回答は致しましたが(^^;、自分では証明が欲しいとは思いません。数学研究者ではなく、数学ユーザですので「自明」、せいぜい「数えたら確かにそうなる」で充分なんですね。

　数えたら確かにそうなる、という点では、自然数の加法が1増やすことによって帰納的に定義されている点に近いのかもしれません。2+3=suc(suc(suc(2))=suc(suc(3))=suc(4))=5、といった感じでしょうか。ただ、これには「3回繰り返している／重ねている」などの未定義のものが含まれますから、証明ではありませんね。

　数学基礎論について、以前に私に教えを垂れてくれた碩学は、正気を保つのが難しいから深入りするなと忠告してくれました。少しだけ入り込んで見て、その通りと感じたので、それ以上の深い入りは避けました。ブルーバックスの現代数学小辞典読むくらいで留めています。

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2014/01/21 14:18

基礎論がお分かりの上でのご質問ですね。

でも、なにも自然数全部を持ち出さなくたって2+3は出来そうです。

2+3をやってみましょう。こっちの手でゆびを2本出しなさい。反対の手でゆびを3本出しなさい。並べて数えてごらん。5本？ はい、よくできました。

が証明になってないとするなら、一体これのどこに問題があるのか、というハナシ。日常で言う「たしざん」はまさにこのようなものでしょう。それを形式化した（つもりの）加法が「たしざん」と一致するかどうかは、（問題があると言うんだったら）形式化した方が責任を持たねばならん、というのが筋であり、その際には「何を以て証明と認めるか」についても、これまた日常で言う「スジが通ってて抜けが無い話」になってるかどうかということと対比されねばならない。
　逆に、そういう面倒はごめんだというのであれば、幼稚園児のやる2+3とは無縁の形式的体系として数学を構築して、現実世界の話とはすっぱり手を切ればいいだけです。そうすれば、現実との対応付けを考える責任は数学を応用する側におっつけることができます。そしてまた、手を切らなきゃ選択公理なんて使えないんじゃ？

この回答へのお礼

ありがとうございます。

悩んだら、
自然数は神が作られた。
と言い切ってしまうのも良いのかもしれませんが、
親切な神様を知らないので時々悩んだりしています。

超準解析では、証明が簡単になったりすることもあるので、
基礎的なものについて深く考えることも大切だと思ってはいるのですが、
なかなか難しいです。

アドバイスありがとうございました。
今後もご指導よろしくお願いします。

お礼日時：2014/01/22 07:09

No.2 回答者： lazydog1 回答日時： 2014/01/21 05:27

　自然数の加法までの数学基礎論の定義を既知としてよいのであれば、それを具体的に当てはめればいいでしょうね。

　そうではないとすれば、大変なんじゃないかと思います。1+1=2にたどり着くまでに600ページ以上費やしてますから、数学基礎論の古典の数学原論でも（同書の定義、証明を甘いとする人もいるのに）。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

自然数の定義にもいろいろありますので、
どの定義を採用するかの問題になりますね。

ペアノの方法
空集合から作る方法
直感主義での方法
超準解析での方法
など。。。

お勧めやお気に入りはありますか？

お礼日時：2014/01/21 07:20

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2014/01/21 00:12

とりあえずここに出てくる記号の定義を聞いてから考える.

この回答へのお礼

ありがとうございます。

自然数の定義にもいろいろありますので、
どの定義を採用するかの問題になりますね。

ペアノの方法
空集合から作る方法
直感主義での方法
超準解析での方法
など。。。

お勧めやお気に入りはありますか？

お礼日時：2014/01/21 07:19