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どうにもヘンテコな式が書いてありますけど、もしかして「3次元ベクトルpの関数Φ(p)のフーリエ変換が3次元ベクトルxの関数(〜Φ)(x)」ってことなんだろうなあ。
1行めの積分の式は(色々不思議なところはあるが)「(~Φ)を逆フーリエ変換する」という計算を表しているっぽい。2行めの積分はおそらく3次元デルタ関数のことで、2行めの右辺はそれに(-g)を掛け算したもの、すなわち -gδ(p) でしょう。デルタ関数のフーリエ変換は定数1ですから、-g δ(p) のフーリエ変換は -g 。これが3行めの式の右辺だと思われます。
一方、∇² はのラプラシアンであり、ベクトルpを成分表示すると、∇² Φとは成分ごとにそれぞれΦの2階導関数を作ったものの総和です。Φがフーリエ変換(~Φ)が収束するような関数(超関数でもいいけど)なら、部分積分を使えば ∇²Φのフーリエ変換が-(x・x)(~Φ)になるのはすぐわかるでしょう。だから (∇² - m²)Φ(p) のフーリエ変換は (- |x|² - m²)(~Φ)(x) であり、3行めの式の左辺とは異なります。
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